VALUACIÓN DE SERIES POCO CONVERGENTES 171 



(«0 + »' — l)»n„ — («o + ^)"n„4-i > (K— 1) Mn, 



("o + '') "u„ J- 1 — («o + í^ + 1) "n„ + 2 >(K — l)Mn<,+ i 

 "o + " + 1) "n„ + 2 — («o + " + 2) í<n„+ 3 > (K — 1) Wn„H-2 



da: 



(«o + ^ — 1 ) Wn„ — (w + V ) !/„ + 1 > 



>(K — 1) (tín„+ "n„+ 1 + i<n„+3 + + "a). (1) 



Designado por u el límite de n u^^ cuya existencia ya está demos 

 trada, las desigualdades anteriores, individualmente dan: 



(«o + ^ — 1 ) "n„ > ("o + ^) "n„ + 1 > ("o + ^' + 1 ) "n« + 2 > 



(«o + i- + 2) Mn„ + 3 > > " , 



•de donde resulta 



í< + ;ín„ + 1 + íín„ + -2+ + "n > 



" V», + V - 1 + •«„ + V + ■«„ + V + 1 + +,V"+^j' 



ésta y la ( 1 ) dan 



("o + í' — 1 ) !^n„ — (n + i') w„ + 1 > 



(K —l)u( ^ \ í 1 ^- r+ -\ ^ V 



El primer miembro crece con n, pero no indefinidamente; su límitg 

 ®^ ("o + ■^ — 1 ) "n, — w ^ (»í„ + v — 1 ) íín„. En el segundo miembro, la 



constante (K — 1 ) u está multiplicada por una variable que crece indefinida- 

 mente con n. Para que la desigualdad sea posible, es necesario que 



(K-- l)6J=r= O, 6) = O . 



La convergencia de la serie resulta de la desigualdad (1 ), que pues 

 ta en la siguiente forma 



in-\-v — 1 ) Uxi„ 

 Wno+ Wn, + 1 + «n„ + 2 + + w„ < Y. — \ ' 



expresa que la suma del primer miembro no crece indefinidamente con n. 



ALGUNOS CASOS PAKTICULAEES. 



Si D^ varía con irregularidad, la valuación de la serie puede ser muy 

 difícil, aun requiriendo poca aproximación. Me voy a ocupar en esta nota de 

 las series en que el producto de üubamel tiene un límite bien determinado: 

 lím D^ = D > 1. 



Es interesante hacer notar que si el producto de Duhamel es cons- 

 tante, la suma exacta de la serie es fácilmente valuable: 



