174 SOTERO PRIETO 



El procedimiento propuesto aquí consiste en obtener el límite D: 

 lim D„ = D , 



(que para un valor suficientemente grande de n diferirá poco de D„) y en 

 formar una serie auxiliar cuya suma exacta se obtiene inmediatamente, sin 

 cálculo alguno, y cuyos términos difieren muy poca cosa de los de la serie da- 

 da. Las diferencias correspondientes formarán unaserie más convergente que 

 la propuesta. 



El cálculo se hará como sigue. Dada unaserie poco convergente 



"l + Wj + % + f "d -t- "d + 1 + '^n + 2 + 1 



«e calculará directamente la suma de los n — 1 primerps términos y queda 

 por valuar la serie 



"n + ''n + 1 + «n + 2 + ; 



se calcula el producto de Duhamel y su límite 



r>„ =- T" + ■^') (l — -°^tJ ] , Hm D„ = D. 



La diferencia entre la variable y su límite es infinitamente pequeña 

 ai el rango crece indefinidamente; la designo por 5^: 



D„ = I> + ''n 



0-"".r) 



(- + -) 1- "- --D+ ''. 



( n f r — 1) ?/ — (m„ + i') M¿ + 1 =r (D — 1 ) ?í„ + r5, m^, 

 (n + v) íin + 1 - {n -\- V ~\- '\) Wn + 2 = (I> — 1 )í<n + 1 + <'n +|1 "n + 1' 

 (n-f V + 1) Mn + 2 — (n -f V + 2)Mn + 3= (D — 1 ) «n + 2 + ''n + 2 «n +2, 



^umando y pasando al límite, 



(n -f V — 1) M^ = (D — 1) (Mq + «n + 1 + í'n + 2 + ) + 



(^D "d + '^n + iWn + 1 + f^n + 2"n + 2 + ), 



O bien, u 



«n + "n + 3 + "n + 2 + = 



" p 1^ ^ Un — j) _i (^n"n + ^n f 1 «n + 1 + ¿n + 2 «ín + 2 + )• (3) 



La serie poco convergente está expresada con otra más convergen te- 

 Ahora bien, la segunda serie será tanto más convergente cuanto más peque- 

 ñas sean las diferencias 6^^ rfn + i, <5n + 2, de los diversos valores de 



D^ con su límite. Con un valor conveniente de v se puede lograr que alguna 

 de ellas (la que se quiera) sea nula, pero las demás no lo serán. Es preferible 

 escoger a v de manera que 6^ resulte un infinitamente pequeño del mayor or- 

 den posible. 



