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dont la première représente le plan des centres des surfaces du 

 second ordre tangentes à sept plans = P,, = ..., = Pt, et la 

 seconde, la sphère lieu des centres des surfaces du second ordre 

 tangentes à six plans, et dont la somme des carrés des axes de- 

 meure constante. J'avais cru d'abord que ces deux équations, 

 quoique très-simples, étaient bien éloignées encore de fournir la 

 définition géométrique du plan ou de la sphère des centres-, et je 

 les regardais comme plus propres à préciser les difficultés de la 

 question qu'à les résoudre. La détermination de la sphère des 

 centres, par exemple, paraissait en elîet dépendre de la résolu- 

 tion des six équations linéaires que l'on ('oit établir entre les six 

 paramètres x figurant dans l'équation (S), pour exprimer que 

 cette équation représente une sphère. C'était un énorme calcul, 

 et dans lequel on aurait dû entrer en laissant toute espérance 

 d'interprétation géométrique. 



J'ai reconnu depuis que ce calcul n'est pas indispensable, car 

 la définition géométrique du centre de la sphère (S) est presque 

 en évidence dans son équation, telle que je l'ai écrite plus haut ; 

 et j'ai été conduit de la sorte à une série de théorèmes renfer- 

 mant la solution de ce problème, posé depuis longtemps, et non 

 encore résolu : Déterminer le centre de la surface du second 

 ordre tangente à neuf plans. 



\ . Un système de six plans, situés d'une manière quelcon- 

 que dans l'espace, donne lieu à dix diagonales réunissant le 

 point de concours de trois quelconques de ces plans au point 

 de concours des trois autres, et à dix sphères décrites sur cha- 

 cune de ces diagonales comme diamètre : ces dix sphères ont 

 le même centre radical et la même sphère orthogonale. Nous 

 nommerons celle-ci la sphère conjuguée des six plans. 



2. Le lieu des centres des hyperboloïdes équilatères 



a'±b' — c^ = 0, 



à une ou deux nappes, tangents à six plans donnés, est la sphère 

 conjuguée des six plans. 



3. Sept plans étant donnés, les sept sphères, conjuguées à six 

 de ces plans, se* coupent dans un même cercle — le cercle con- 

 jugué des sept plans — ; ce cercle est le lieu géométrique des 

 centres des hyperboloïdes équilatères tangents aux sept plans 

 donnés ; et son plan coïncide avec le plan général des centres 



