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 ne peuvent avoir plus de neuf points en commun avec un 

 même plan sans que celui-ci ne contienne toute une branche 

 de leur intersection. Il et donc permis d'affirmer que les 

 sections des deux surfaces par le plan tangent, ou bien se 

 confondent entièrement, ou bien ont toute une branche en 

 commun. Mais il est aisé de voir que cette dernière circons- 

 tance ne peut pas se présenter en général, car il faudrait 

 pour cela que chacune des deux sections se décomposât en 

 une conique et une droite passant par le point de contact, 

 et la droite aurait alors, avec la surface primitivement con- 

 sidérée, un contact du 4" ordre, ce qui ne peut avoir lieu 

 sur une surface non réglée qu'en des points isolés (1). 



» L'intersection complète des deux surfaces du 3^ ordre 

 renferme, outre cette courbe plane , une courbe gauche du 

 6® ordre dont trois branches passent au point de contact, et 

 par laquelle il est toujours possible de mener une surface 

 du 2® ordre simplement osculatrice à la proposée. Récipro- 

 quement, une surface du 3^ ordre étant donnée, toute autre 

 surface contenant les courbes d'intersection de la proposée 

 avec un plan tangent et une surface quelconque simplement 

 osculatrice à la première au même point, aura avec elle un 

 contact du 4« ordre. 



» Le cas où le point considéré sur la surface donnée est 

 un point quelconque de sa ligne d'ondulation , c'est-à-dire, 

 lorsque Ton peut mener par ce point une droite ayant avec 

 la surface, un contact du 3^ ordre et non du 4% donne lieu 

 à une remarque qui ne paraît pas sans intérêt. Dans ce cas, 

 en effet, il n'existe plus de surface du 3^ ordre ayant, avec 

 la proposée, un contact du 4® ordre dans le sens ordinaire 

 du mot ; mais si, pour supprimer toute distinction relative à 

 la nature du point commun à deux surfaces, on définit 

 l'ordre de leur contact, d'après le théorème rappelé ci-dessus, 



(1) Cette remarque, d'ailleurs évidente directement, peut se rat- 

 tacher à une interjjrétation géométrique de l'équation aux diffé- 

 rences partielles des surfaces gauches. Cette équation exprime, en 

 effet, qu'en chaque point de la surface, une des asymptotes de 

 l'indicatrice a avec la surface un contact d'un ordre supérieur au 

 second. 



