— 67 — 



Les surfaces du troisième ordre, quicoiiliennenl le cercle de 

 l'infini, ot les surfaces du quatrième ordre, qui contiennent ce 

 cercle comme ligne (ioiible, ^ont en général anallagmatiques 

 par rapport à Sjôles différents, parmi lesquels trois au moins 

 sont réels. Les 5 sphères principales se coupent deux à deux 

 «rlhogonalement ; de là dérive pour les 5 pôles principaux une 

 relation de positions remurquable; la droile qui joint deux 

 quelconques d'entre < ux est nécessairement perpendiculaire au 

 plan des trois autre^, ou ce qui revient au même, chacun des 

 tétraèdres, qui a pour sommets 4 des pôles principaux est tel, 

 que ses hauteurs concourent en un même point, et ce point 

 de concours est lui-même le cinquième pô'e principal. Si on 

 prend pour pôle de transformation le point de concours des 

 hauteurs de l'une quelconque des faces de ces tétraèdres, 

 avec un paramètre de transformatirn convenable, la transformée 

 est symétrique de la proposée par rapport à la face du trélraèdre. 

 Nommant un pareil jKiintpd/e secondaire, ou voit qu'il existe 

 en général 10 pôles secondaires pour les anailagmatiques du 

 troisième et du quatrième ordre. Dans le cas du troisième or- 

 dre, les ciiiq [ôles principaux et les dix pôles secondait es sont 

 situes sur la surface. 



Les sphères doublement tangentes à une anal'.agmalique 

 du troisième ou du (juateième ordie la coup'^nt suivant deux 

 cercles. Toutes ces sphères forment cinq systèmes diffi'rents 

 dont les ceitres sont situés sur les cinq surfaces directrices 

 correspomlantes aux cinq pôles principaux; ces directrices sont 

 des surfaces homofocales du second drgré, dont le centre com- 

 mun jouit de propriétés remarquables. Pour le troisième degré, 

 ce centre est rejeté à l'infini. 



Tout pôle principal d'une anallagmatique du quatrième ordre 

 est le sommet d'un cône du second degré dont chaque généra- 

 trice est doublement tangente à la surface, et dont la courbe de 

 contact est située sur une s| hère concentrique aux surfaces di- 

 rectrices. On conclut aisément de là, que par un point de la 

 surface, on peut mener en général ^0 sections circulaires, ou, 

 ce qui revient au môme, que les plans doublement tangents à 

 la surface se répartissent suivant les plans tangents à cinq cô- 

 nes du second degré. 



Les courbes d'intersection de la surface et des sphères princi- 

 pales renferment divers points remarquables, parmi lesquels les 



