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Sî(r les surfaces anallagmatiques du quatrième ordre, 

 par M. Moutard. 



Parmi les cinq surfaces diroctrices homofocales d'une sur- 

 face anallagmatique donnée du quatrième ordre, i! y a toujours 

 un hyperboloïde à une nappe, il peut y en avoir trois. 



Considérons le quadrilatère formé par quatre génératrices 

 rectilignes de l'un de ces hyperboloïdes et les sphères double- 

 ment tangentes à l'ànallagmatique ayant leurs centres aux som- 

 mets de ce quadrilalère. La surface anallagmatique peut être 

 considérée comme le lieu des points dont le produit des puis- 

 sances par rapport à deux sphères opposées (dont les centres 

 sont deux sommets opposés du quadrilatère dont il vient d'être 

 quoslion) est dans un rapport consiant, positif ou négatif, 

 avec le produit des puissances par rapport aux deux autres 

 sphères (1). 



Ce rapport constant est égal à celui des segments déterminés 

 par le centre de la surface directrice sur la droite qui joint les 

 milieux des diagonales du quadrilatère. La sphère principale 

 n'est autre, du reste, que la sphère orthogonale aux quatre 

 sphères données. 



En particularisant le quadrilatère, on arrive à diverses dé- 

 finitions de l'ànallagmatique parmi lesquelles nous citerons 

 celle-ci : 



Une anallagmatique du quatrième ordre peut, en général, 

 être définie de dix manières différentes comme le lieu des points 

 dont le produit des distances à deux points fixes est dans un 

 rapport constant avec le produit des distances à deux plans 

 fixes. 



L'ànallagmatique la plus générale ne peut pas être définie 

 comme le lieu des points dont le produit des distances à deux 

 points fixes est dans un rapport constant avec le produit des 

 distances à deux autres points fixes. 



Pour qu'une anallagmatique soit susceptible d'une pareille 

 définition, il faut et il suffit que l'on puisse inscrire dans la li- 

 gne focale un quadrilatère formé par quatre génératrices recti- 



(1) \ok Nouvelles annales de mathématiques, avril 1864, page 157, 

 une définition analogue du tore donnée par M. Darboux. 



Extrait de l'Institut, V Section, 1864. 9 



