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les points de la droite D se coupent suivant la droite conju- 

 guée A. Cette propriété est réciproque. 



Le beau théorème que je viens de rappeler souffre un 

 grand nombre d'exceptions. 



Considérons en effet une droite D qui rencontre deux con- 

 juguées quelconques; il est facile de voir que les trajectoires 

 de tous les points de cette droite lui sont normales, de sorte 

 que la droite D est contenue dans tous les plans normaux à 

 ces trajectoires; par suite, ces plans normaux ne sauraient 

 avoir une autre droite qui leur soit commune ; la droite D 

 n'a pas de conjuguée, et il n'est pas possible de la faire 

 passer de la position qu'elle occupe à la position voisine, par 

 une simple rotation. 



Ces exceptions m'ont paru jeter un certain louche sur la 

 question des droites conjuguées, telle qu'elle est habituelle- 

 ment résolue; les couples de droites conjuguées sont bien 

 nombreux, et il y a lieu de se demander comment sont dis- 

 tribuées toutes les droites, dont le nombre est doublement 

 infini, qui s'appuient sur deux conjuguées quelconques, 

 toutes ces droites auxquelles le théorème général ne s'ap- 

 plique pas. La construction suivante est destinée à mettre ce 

 point en lumière. 



Pour constraire la conjuguée d'une droite D, plaçons l'axe 

 central dans une position verticale, de telle sorte qu'un ob- 

 servateur debout le long de cet axe voie la rotation instan- 

 tanée du système s'effectuer dans le sens du mouvement 

 des aiguilles d'une montre. Soit P la perpendiculaire com- 

 mune à l'axe central et à la droite D. Dans le mouvement 

 hélicoïdal du système, P décrit une surface de vis à filets 

 carrés; considérons le paraboloïde normal à cette surface, 

 le long de la génératrice P, nous avons le théorème suivant: 



Théorème. La conjuguée de la dr^oite D est parallèle à la gé- 

 nératrice du paraboloïde gui passe au point où la droite D 

 perce ce paraboloïde. 



Ce théorème nous fait aussi connaître la position de la 

 conjuguée A; en effet, les propriétés des droites D et A étant 

 réciproques, il suffira, pour avoir un point de A, de chercher 

 sur la perpendiculaire P le point où la deuxième génératrice 

 du paraboloïde est parallèle â D. 

 Les droites singulières qui n'ont pas de conjuguées sont 



