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Sur ce problème : <(. Par un point donné mener des droites 

 doublement tangentes à un tore , » par MM. Janin et 

 Mannheim. 



M. Mannheim communique une solution, due à M, Janin, 

 élève à l'École polytechnique, qui est relative au cas parti- 

 culier où. le point donné est à l'infini, c'est-à-dire lorsqu'il 

 s'agit de mener à un tore des tangentes doubles parallèles 

 à une droite donnée. 



Le tore est donné par ses projections sur deux plans : 

 l'un, pris pour plan horizontal, est perpendiculaire à l'axe 

 de révolution du tore; l'autre, vertical, est parallèle à la 

 droite donnée. Sur ce dernier plan, on a deux circonfé- 

 rences (C), (C) faisant partie du contour apparent du tore. 



Les tangentes doubles ont pour projection verticale la 

 droite menée, par la projection du centre du tore, parallèle- 

 ment à la projection de la droite donnée. Du centre de (G) 

 on abaisse sur cette droite une perpendiculaire; du pied de 

 cette ligne, on mène une parallèle à l'axe du tore, cette 

 droite rencontre (C) en deux points : les parallèles du tore 

 qui passent par ces points contiennent les points de contact 

 des tangentes doubles cherchées. D'après cela, on a les pro- 

 jections verticales de ces points de contact et par suite les 

 projections horizontales des tangentes doubles. 



M. Janin a été conduit à cette construction par la consi- 

 dération de l'hyperboloïde de révolution, doublement tan- 

 gent au tore, qui est engendré par la rotation d'une tangente 

 double autour de l'axe du tore. Cet hyperboloïde a pour 

 contour apparent sur le plan vertical une hyperbole dont on 

 connaît les asymptotes et qui est doublement tangente à cha- 

 cune des circonférences (C) et (C) . Dans la construction précé- 

 dente, on a simplement cherché les points où cette hyperbole 

 touche les circonférences (C) et (C). 



M. Mannheim fait ensuite remarquer que l'idée de M. Janin 

 de considérer cet hyperboloïde de révolution doublement 

 tangent au tore conduit à la construction des tangentes dou- 

 bles issues d'un point quelconque S. La trace de cet hyper- 

 boloïde sur le point méridien qui contient S est une hyper- 



