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changent de position. Les surfaces que Ton obtient ainsi ont 

 deux à deux leurs génératrices tangentes aux mêmes cônes S", 

 S"' ; comme d"' ailleurs S et 5' leur sont circonscrits à toutes, on 

 voit qu'il existe pour chacune d'elles une surface compagne 

 ayant les quatre mêmes cônes doublement circonscrits. 



6. Quand les rayons homologues des faisceaux sur les plans 

 (a) et {b) sont les polaires d'un même plan passant par la droite 

 d, par rapport a S et à S', la surface devient développable et se 

 confond avec la surface compagne. Les quatres cônes se cou- 

 pent alors suivant une même courbe du quatrième ordre, arête 

 de rebroLissement de la développable (1). 



7. Les traces des quatre cônes doublement circonscrits à la 

 surface (cr) sur les plans des faces respectivement opposées à 

 leurs sommets dans le tétraèdre formé par ces points appar- 

 tiennent, comme coniques doubles, à deux surfaces réglées du 

 huitième ordre ; de sorte que toute droite qui rencontre trois de 

 ces courbes a uq point sur la quatrième. 



Réciproquement lorsque quatre coniques sont rencontrées 

 par toutes les génératrices d'une surface réglée, les cônes qui 

 ont ces courbes pour directrices et dont les sommets sont res- 

 pectivement aux sommets opposés du tétraèdre formé par 

 leurs plans, sont touchés par toutes les génératrices de deux 

 surfaces (ff). 



8. La surface (o-) possède sur chaque face du tétraèdre formé 

 par les sommets des cônes, une hgne double du quatrième 

 ordre ayant trois points doubles aux trois sommets situés sur 

 cette face. 



La surface a, de plus, une ligne nodale gauche du quatrième 

 ordre. 



Ces résultats ont déjà été obtenus par M. Ghasles pour le cas 

 où la surface est développable. La courbe nodale gauche est 

 alors l'arête de rebroussement. 



9. Une surface (a) est coupée suivant huit droites par les 

 surfaces du second ordre qui contiennent sa hgne nodale 

 gauche. 



(1) Plusieurs géomètres se soiil occupés de cette développable. Je citerai 

 principalement M. Chastes : Propriétés des courbes à double courbure du 

 quatrième ordre prorenani de l'intersection de deux surfaces du second 

 ordre. (Comptes rendus, 1" semestre, 1862.) 



