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Construction des centres des circonférences tangentes à trois 

 circonférences données et des centres des sphères tangentes 

 à quatre sphères données, par M. E. Stephan. 



Théorème I. — Si l'on augmente ou si l'on diminue d'une 

 même quantité variable les rayons de trois circonférences C^, 

 Cg, C5, leur centre radical décrit une ligne droite 0^ O^. 



La droite 0^ O2 passe par les centres 0^, O2 des deux circon- 

 férences tangentes, l'une intérieurement, l'autre extérieurement 

 aux trois circonférences C^, C^, C3. 



Il résulte de là que : 



Pour trouver les centres Oj, O2, il suffit de déterminer les 

 points de la droite Oi Oç, qui sont à égale distance de deux 

 des trois cercles Ci, C2, C3. 



Ce dernier problème peut être énoncé plus généralement sous 

 la forme suivante : 



Trouver les points d'intersection d'une droite et d'une courbe 

 du second degré; or, on sait rés'aidre cette question dans tous 

 les cas, par plusieurs procédés simples, avec la règle et le com- 

 pas. 



Si l'on augmente le rayon de l'une des circonférences, de Ci 

 par exemple, d'une certaine quantité et que l'on diminue en 

 même temps les rayons des deux autres, Cq, C3, de la même 

 quantité, ou inversement, le centre radical décrit une autre droite 

 qui passe par les centres des circonférences tangentes extérieu- 

 rement à Cj et intérieurement à Co et C3 ou inversement. 



En résumé, on voit que : 



Il existe quatre droites, faciles à comtruire, sur lesquelles 

 sont situés par couples les centres de^ huit circonférences qui, 

 dans le cas le plus général, répondent à la question proposée. 



Théorème II. — La droite C\ 0^ est perpendiculaire à l'axe de 

 similitude des circonférences Cj, C^, C3. 



Cette dernière propriété était connue de Gergonne; elle res- 

 sort aussi d'un travail de M. Mannheim sur le lieu des centres des 

 circonférences qui coupent ^ trois circonférences données sous 

 le même angle. 



Ce qui précède peut être répété presque textuellement pour 

 •quatre sphères. 



