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Théorème I. — « Il existe dans le plan de tout quadrilatère 

 «f deux points fixes par où passent les cercles orthogones de cha- 

 « cune des courbes du second degré inscrites dans le quadrîla- 

 « tère et d'où Von voit sous un angle droit chacune de ces 

 « courbes, » 



Nous appellerons ces points sommets orthogones du quadri- 

 latère. 



Théorème 11. — « La droite qui joint les sommets orthogones 

 « d'un quadrilatère est la directrice de la parabole qui est 

 « inscrite dans ce quadrilatère. Elle renferme les points de 

 « reneontre des hauteurs des quatre triangles formés par les 

 « côtés du quadrilatère, de plus elle est perpendiculaire à la 

 « divite qui joint les milieux des diagonales. » 



Rappelons que le cercle conjugué d'un triangle est celui qui 

 a pour centre le point de rencontre des hauteurs, et pour rayon 

 une moyenne proportionnelle entre les segments interceptés 

 sur une hauteur quelconque par le pied de cette droite, le 

 sommet où elle passe et le point de rencontre des hauteurs. 

 Sachant d'ailleurs d'après M. Paul Serret {Nouvelles Annales, 

 2« série, tome IV, page 154), que les cercles conjugués des 

 quatre triangles formés par les côtés d'un quadrilatère, cercles 

 dont nous venons de voir que les centres sont en ligne droite, 

 passent par deux points fixes, nous énonçons le théorème sui- 

 vant: 



Théorème 111. — « Toutes les circonférences du faisceau des 

 « cercles orthogones d'un quadrilatère coupent à angle droit 

 « les quatre circonférences du faisceau des cercles conjugués.r> 



Théorème IV. — « Un pentagone donne lieu à cinq quadri- 

 « latères, dont les dix sommets orthogones sont sur un même 

 « cercle. » 



Énonçons encore un théorème connu, parce que nous en 

 trouverons l'analogue dans l'espace : c'est du reste un cas par- 

 ticulier du théorème I, dans lequel on suppose un sommet du 

 quadrilatère à l'infini. 



Théorème (b). — Les directrices de toutes les paraboles ins- 

 crites dans un triangle passent par le point de rencontre des 

 hauteurs. 



Passons à la géométrie de l'espace. 



Théorème Y. ~ a Si à un cône du second degré on peut cir- 



Extrait de l'Institut. 1" section, 1865. 14 



