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« conscrire un trièdre trirectmigk, il est possible d'encircons- 

 « crire une infinité d'autres. » 



Ce théorème est le corrélatif du suivant qui est bien connu. 



Théorème (c). — Si dans un cône du second degré, on peut 

 inscrire un trièdre trirectangle, il est possible d'en inscrire une 

 infinité d'autres. 



Ces deux classes de cônes sont bien définies ; les derniers 

 seront, si l'on veut, les cônes équilatères de première espèce; 

 les premiers, les cônes équilatères de seconde espèce. Pourjus- 

 tifîer ces dénominations, nous rappellerons que, pour ceux-là, la 

 somme des coefficients des carrés des variables est nulle, tan- 

 dis qu'il est facile de voir que, pour les autres, c'est la somme 

 des carrés des axes. 



On conçoit, en vertu du théorème V, que le lieu des sommets 

 des trièdre s trirectangles circonscrits à une surface du second 

 degré, que nous affecterons de l'épithète orthogone, n'est autre 

 que le lieu des sommets des cônes équilatères de seconde es- 

 pèce circonscrits à cette surface, lieu qui est généralement une 

 sphère. Cela posé, voici le théorème analogue à celui de 

 Sturm : 



Théorème VI. — « Toutes les surfaces du second degré qui 

 « passent par huit points fixes sont coupées par un plan trans- 

 « versai, suivant un système de courbes telles que, si un même 

 « point est le sommet de deux cônes équilatères de première 

 « espèce , dont deux d'entre elles soient les bases respectives, 

 « toutes les autres jouiront de la même propriété par rapport 

 « au même point. » 



Il existe en effet une infinité de points satisfaisant à cette 

 condition et situés sur une courbe facile à définir. Cette pro- 

 priété pourra servir de définition à l'involution plane, et per- 

 mettra de généraliser un grand nombre de résultats connus sur 

 l'involution de points en hgne droite ; pour le moment, elle nous 

 a servi à trouver les propriétés suivantes. 



Théorème VII. — « Il existe, pour un système de six plans. 

 « un point fixe, commun à tous les plans orthogones des para- 

 « boloïdes tangents aux six plans, sommet de cônes équilatères 

 « de seconde espèce circonscrits à toutes ces surfaces. » 



Nous l'appellerons sommet orthogone du système. Ce théo- 

 rème est l'analogue du théorème b; au cercle conjugué du trian- 

 gle correspond la sphère conjuguée des six plans, qui coupe 



