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orthogonalement les sphères ayant pour diamètres les dix dia- 

 gonales du système des six plans, de même que le cercle con- 

 jugué d'un triangle coupe orthogonalement les cercles ayant 

 pour diamètres les hauteurs et les côtés du triangle. C'est M. 

 Paul Serret qui a défini et étudié la sphère conjuguée d'un sys- 

 tème de six plans, dont le centre coïncide avec notre sommet 

 orthogone. {Nouvelles Annales, 2^ série, tome IV, p. 205). 



Théorème VIll. — « 7/ existe pour un système de sept plans 

 » une droite fixe, intersection commune de tous les plans or- 

 » thogones des paraboloïdes tangents aux sepi plans; de chacun 

 » des points de cette droite comme sommets, on peut circons- 

 » crire des cônes équilaîères de' seconde espèce à toutes ces 

 » surfaces. » 



Nous appellerons cette droite axe orthogone du système des 

 sept plans. 



Théorème IX. — « Vaxe orthogone d'un système de 

 » sept plans renferme les sept sommets orthogones des sept 

 » systèmes de six plans auxquels donnent lieu les sept plans 

 » considérés ; de plus il est perpendiculaire au plan, lieu 

 » des centres des surfaces du second degré tangentes aux sept 

 >. plans. 



Théorème X. — « L'axe orthogone d'un système de sept 

 » plans renferme deux points fixes communs à toutes les 

 » sphères orthogones des surfaces du second degré tangentes 

 » aux sept plans, sommets de cônes équilatères de seconde es- 

 » pèce circonscrits à toutes ces surfaces. » 



Nous les appellerons sommets orthogones da système des sept 

 plans. Un système de sept plans donnant lieu à sept sys- 

 tèmes de six plans, donne en même temps lieu à sept sphères 

 conjuguées, dont nous venons de voir que les centres sont en 

 ligne droite, et qui ont, d'après M. Paul Serret, un cercle com- 

 mun dans le plan des centres ; nous donnons après cela l'énoncé 

 suivant : 



Théorème XI. — « Chacune des sphères du faisceau des 

 » sphères orthogones d'un système de sept plans coupe 

 » orthogonalement chacujie des sphères du faisceau des sphères 

 » conjuguées. 



Théorème XII. — « Il existe pour un système de huit plans 

 » un cercle fixe, intersection commune de toutes les sphères 

 » orthogones des surfaces du second degré tangentes aux huit 



