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Remarques sur le théorème précédent, par M. Mannheiin. 



En s'occupant de la transformation par polaires réciproques 

 des propriétés relatives aux rayons de courbure (0, M. Mann- 

 heim a rencontré le théorème précédent. 



Le théorème, sur lequel s'appuie M. Haag, exprimé par la 

 relation : 



"^ . = f Théorème 1] (2) 



p C0S3 t|/ 



n'est autre que le résultat de la transformation par polaires ré- 

 ciproques de ce théorème de M. Duhamel : 



Théorème 2. — Si l'on mène à une courbe géométrique toutes 

 ses tangentes parallèles à une même droite, la somme des 

 rayons de courbure relatifs aux divers points de contact de ces 

 tangentes sera généralement égale à zéro (3). 



Il était naturel de chercher la transformation de l'extension 

 suivante de ce théorème : 



Théorème 3. — Si l'on mène à une surface géométrique 

 tous ses plans tangents parallèles à un même plan, la somme 

 des rayo7is de courbure principaux relatifs aux divers points 

 de contact de ces plans, sera généralement égale à zéro i^l 



Cette transformation conduit au théorème de M. Haag. 



Le théorème 3 n'est autre que la combinaison du théorème 2 

 et du théorème suivant : 



Théorème k- — La somme des rayons de courbure des con- 

 tours apparents d'une surface sur deux plans rectangulaires 



(1) Les résultats de ce travail seront bientôt communiqués. 



(2) Ce théorème a été donné, en 1837, par M. Reiss, dans un mémoire 

 qui a paru dans la Correspondance mathématique de M. Quételet. T. IX, 

 page 289. 



(3) Journal de mathématiques de M. Liouville. T. VL page 364(1841). 



(4) Cette extension a été faite par M. Liouville. Tome VI de son journal, 

 page 369. 



