saire et suffisante pour obtenir une solution, c'est de trouver les 

 solutions communes aux équations (/i) et (5). 



Mais ces équations (Zi) et (5) sont identiques : le problème est 

 donc ramené à résoudre l'équation {k), qui est une équation du 

 troisième ordre linéaire par rapport aux dérivées du troisième 

 ordre. Toute solution de cette équation donnera un système 

 triple de surfaces orthogonales. 



L'identité des équations s'exprime géométriquement par le 

 théorème suivant : 



Si deux systèmes de surfaces orthogonales se coupent suivant 

 leurs lignes de courbure, il y a un troisième système de sur- 

 faces orthogonal aux deux premiers. 



Ce théorème est simple et n'a pas encore été, je crois, énoncé. 



L'équation (/i) a été obtenue par MM. Bouquet et Serret dans 

 le cas particulier où l'on suppose a de la forme 



a =i:X + Y + Z. 



On peut la déduire aussi d'tme équation obtenue par M. Pui- 

 seux dans une note sur les systèmes de surfaces orthogonales. 

 {Journal de mathématiques pures et appliquées, 1863.) 



M. Puiseux obtient une démonstration très-simple des théo- 

 rèmes de M. Lamé en développant les paramètres suivant les 

 puissances des variables et en choisissant pour axes les normales 

 aux trois surfaces. Ainsi l'on a par exemple : 



a = % -\- cz^ -{- fx^ -{- iy^ zlyz — zgzx + Iz^ -f- oœ^ -\- vy^ 

 -{- y x^y -{■ K xy^ -\- IK yz^ -\- tz z^x -{- r zx^ -f- ^ xyz +. . . 



On obtient l'équation : 



X = %eg. 



Si l'on suppose que l'on revienne à des axes quelconques, ^eg 

 seront remplacés par des fonctions des dérivées de a, et l'on aura 

 une équation aux dérivées partielles du troisième ordre. Mais 

 M. Puiseux n'a pas fait cette remarque, et du reste sa méthode 

 ne prouverait pas que cette équation, qui est nécessaire, est aussi 

 suffisante. 



