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Sur les surfaces oiHhogonales, par M, Darboux. 



Depuis les travaux de MM. Dupin et Lamé sur les surfaces 

 orthogonales, le problème de la recherche des systèmes ortho- 

 gonaux a pris une grande importance. Divers géomètres, 

 MM. Bouquet, Serret, Bonnet, Michael Roberts, se sont occupés 

 de cette recherche, et l'on connaît aujourd'hui un assez grand 

 nombre de systèmes de surfaces orthogonales. M. Ossian Bonnet, 

 dans une série de communications fort intéressantes faites à 

 l'Académie des sciences en 1861, a montré que le problème se 

 ramène à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du 

 troisième ordre linéaire par rapport aux dérivées d'ordre supé- 

 rieur. Ce résultat a un grand intérêt parce qu'il indique et précise 

 Tordre de difficulté du problème. C'est ainsi qu'on a fait un 

 grand pas dans la solution du problème des surfaces applicables 

 les unes sur les autres quand on a montré que toutes les sur- 

 faces applicables sur une surface donnée s'obtiennent en résol- 

 vant une équation aux dérivées partielles du deuxième ordre. 



Je me propose de démontrer le résultat de M. Bonnet en sui- 

 vant une voie tout à fait différente. Dans un problème aussi 

 difficile, dont la solution générale est loin d'être trouvée, il me 

 semble utile de varier les méthodes parce que chacune d'elles met 

 en évidence certaines solutions particulières. 



Soit (1) ci=^{x,ij,z) 



l'équation de l'un des systèmes orthogonaux. 11 passe en un 

 point quelconque une surface du système (a), et l'on peut déter- 

 miner en ce point les directions des lignes de courbure par deux 

 équations de la forme 



(2) 

 (3) 



Dans ces équations L, M, N, L', M', N' sont fonctions des dérivées 

 premières et secondes de a par rapport à x, y, z. Or les tangentes 



