— 99 — 



courbe, ou de l'espace, sont liées par une relation linéaire et 

 homogène : 



(II) 2/+^ >.jPi"i=-0. 



Réciproquement, etc. 



Des recherches antérieures sur le plan des centres des 

 ellipsoïdes tangents à sept plans donnés, m'ayant amené aux 

 identités spéciales concernant six tangentes d'une conique, ou 

 dix plans tangents d'un ellipsoïde ; les identités générales (I) 

 (II) se trouvaient naturellement indiquées, et il ne restait 

 plus qu'à les .vérifier. C'est ce que l'on peut faire, d'une ma- 

 nière très-simple, à l'aide des propriétés les plus élémentaires 

 des déterminants : ces identités apparaissant alors comme 

 une transformation presque immédiate de la définition ana- 

 lytique ordinaire de toutes les lignes et surfaces algébriques. 

 D'ailleurs, et bien que très-aisée, cette transformation peut 

 n'être point inutile. Et si l'on devait juger du rôle de ces 

 identités dans l'étude des lieux géométriques d'ordre supé- 

 rieur, d'après tout ce qu'elles donnent, comme d'elles-mêmes, 

 pour les lieux plans ou solides du second ordre, on serait 

 conduit à leur attribuer une importance qui, peut-être, ne 

 se vérifierait pas, mais qui ne paraîtrait point en désaccord 

 avec leur simplicité. 



2. Les cas singuliers des deux théorèmes précédents sont 

 très-nombreux, et se traduisent par autant de théorèmes dis- 

 tincts. Ils résultent, d'ailleurs, de l'hypothèse où l'une des 

 identités générales S X p"" = o, S X P'"== o serait vérifiée 

 par un nombre d'éléments inférieurs- d'une ou de plusieurs 

 unités au nombre normal [x ~\^ i. 



On trouve ainsi, mais sans aucun calcul, la belle propo- 

 sition (Lamé-Hesse) relative au huitième point commun à 

 toutes les surfaces du second ordre qui passent par sept points 

 donnés, ainsi que certaines propriétés nouvelles des courbes 

 gauches du quatrième ordre, mais dont je ne dis rien au- 

 jourd'hui, me proposant d'y revenir, et ayant à donner quel- 

 ques exemples du rôle que peuvent jouer les identités nor- 

 males (I) et (II) dans la théorie des surfaces du second 

 ordre . 



3. Le théorème de Pappus peut s'exprimer analytiquement 



