— 425 - 



développement des surfaces réglées, Bour commence par déduire 

 des formules la théorie complète de ces surfaces, puis détermine, 

 alors seulement, les surfaces réglées applicables sur diverses sur- 

 faces : ellipsoïde de révolution, hyperboloïde à une nappe, héliçoïde 

 réglé. 



De même, à l'occasion du développement des surfaces de révo- 

 lution, dont l'étude lui fournit ses résultats les plus importants, 

 Bour, ayant découvert ce théorème remarquable, que toute surface 

 hélicoïdale est applicable sur une surface de révolution, étudie, tou- 

 jours à l'aide de ses équations fondamentales, les héliçoïdes en 

 général, avant de traiter quelques exemples intéressants. Enfin, 

 s'écartant franchement de l'objet principal de son mémoire, il 

 montre toute l'importance de ses formules fondamentales, en les 

 faisant servir, dans un chapitre épisodique intitulé : Applications 

 diverses, h l'étude des surfaces qui ont leurs courbures principales 

 égales et opposées, de celles à courbure moyenne constante, et 

 enfin de celles dont les courbures principales sont partout égales 

 et de même signe. Bour applique aussi, avec un égal succès, les 

 coordonnées symétriques imaginaires à des problèmes du même 

 genre. 



La théorie de la déformation des surfaces se termine par l'exposé 

 et l'application de la troisième méthode, signalée au début de cet 

 aperçu. Cette méthode, d'aspect bizarre, qui ne semble, au premier 

 abord, se justifier que par le succès, constitue cependant par ses 

 résultats, d'après son auteur lui-même, ce qu'il y a de plus neuf 

 et de plus inattendu dans toute cette théorie géométrique. 



A la fin de ce grand ouvrage, Bour annonçait l'apparition pro- 

 chaine d'un appendice sur la Théorie des surfaces caustiques, théorie 

 qui, suivant ses propres expressions, présente des rapports fort curieux^ 

 avec celle de la déformation des surfaces. Le temps lui a mal- 

 heureusement manqué pour achever ce complément de son œuvre. 



Dans les séances de l'Académie - des sciences des 17 février, 

 10 et 17 mars 1862, Bour analysa son beau mémoire sur Vlnté- 

 gration des équations différentielles partielles du premier et du 

 second ordre, qui fait suite au précédent, et se trouve, comme 

 celui-ci, dans le 39*^ cahier du Journal de VÉcole polytechnique. 



Après un court exposé de l'état de la question, l'auteur résume 

 et complète ses recherches sur ce vaste sujet; il rappelle le théo- 

 rème fondamental qu'il avait démontré antérieurement au 

 tome XIV du Recueil des savants étrangers, et en déduit une 

 nouvelle méthode d'abaissement des équations différentielles de 

 la dynamique. Passant ensuite aux équations du premier ordre, il 

 applique sa méthode à ,l' Intégration des équations différentielles 

 de la ligne géodésique sur une surface quelconque, problème dont il 



