— 04 — 



sur la sphère n'a pas de foyers ordinaires; il n'a que -deux 

 foyers singuliers, qui sont ses pôles sphériques (1) : 



En général, l'intersection d'une sphère avec une surface 

 de degré m a 2 m foyers singuliers et ^ m {m-7) foyers ordi- 

 naires. 



Lorsqu'on projette stéréographiquement une courbe, les 

 génératrices isotropes de la sphère se projettent suivant des 

 droites isotropes; il en résulte que les foyers ordinaires de la 

 courbe se projettent suivant les foyers ordinaires de la trans- 

 formée. Il n'en est pas de même des foyers singuliers; pour 

 les obtenir, on considérera l'une quelconque des surfaces qui, 

 avec la sphère, définissent la courbe, et l'on prendra son in- 

 tersection avec le plan tangent au pôle de transformation, — 

 Les polaires des conjointes de ce pôle, relativement à l'inter- 

 section dont je viens de parler, couperont le plan de pro- 

 jection aux foyers singuliers de la transformée. 



S. Je considérerai spécialement dans cette note les courbes 

 qui résultent de l'intersection d'une sphère par une surface 

 du second degré. Elles ont été déjà l'objet des travaux d'un 

 grand nombre de géomètres, notamment de MM. Quetelet, 

 Dandelin, Chasles. M. Darboux a aussi publié diverses notes 

 très-intéressantes à ce sujet. {Nouvelles Annales de Math., et 

 Annales de l'École normale, 4865.) 



Ces courbes correspondent exactement sur la sphère aux 

 courbes planes remarquables étudiées par M. Moutard, et 

 qu'il a nommées anallagmatiques du quatrième ordre. Par 

 analogie, je les désignerai brièvement sous le nom ù'anal- 

 lagmatiques sphériques. 



Une telle courbe peut être placée sur quatre cônes du se- 

 cond degré (Poncelet). Soit G l'un de ces cônes et T son 

 sommet; si l'on considère les divers plans tangents que l'on 

 peut mener à ce cône, on voit immédiatement que la courbe 

 peut être considérée comme l'enveloppe des cercles suivant 

 lesquels ils coupent la sphère. Mais il importe de définir la 



(1) Pour éviter toute confusion dans la suite, je désignerai 

 constamment les pôles sphériques d'un cercle sous le nom de 

 foyers; le centre d'un cercle sera le point de son plan qui porte 

 ce nom, et son pôle, le pôle de son plan par rapport à la sphère. 



