— 56 — 



deux génératrices isotropes passant par ce point. On sait que 

 les droites isotropes du plan N, sur lequel se fait la projec- 

 tion, forment deux systèmes distincts: l'un, que je désignerai 

 par Ifl, est formé de droites parallèles à i; l'autre, que je 

 désignerai par Jo, de droites parallèles à j. — Considérons 

 une droite isotrope du système Iq qui soit tangente à k; 

 les droites Iq et i sont dans un même plan, qui,^ contenant 

 la génératrice /, est tangent à la sphère ; il est tangent aussi 

 à la conique K. Par suite, il est tangent aux coniques 

 Kl, K2 et K3, et son intersection avec le plan N doit être 

 tangente aux coniques /ci, k^ et k^^. Ce que je viens de dire 

 des droites du système Iq s'applique aux droites de l'autre 

 système. Les quatre coniques considérées ont donc mêmes 

 tangentes isotropes, et par conséquent sont homofocales. 



(Toutes ces propriétés des anallagmatiques planes ont été 

 signalées pour la première fois par M. Moutard en 1861.) 



On démontrerait d'une façon analogue que la projection 

 stéréographique d'une anallagmatique plane sur une sphère 

 est une anallagmatique sphérique. 



7. Au lieu de considérer l'anallagmatique comme résultant 

 de l'intersection de la sphère par le cône C, on peut la con- 

 sidérer comme la courbe de contact de la développable cir- 

 conscrite à la sphère et à la conique K. 



Cette façon de considérer la courbe est peut-être celle qui 

 se prête le mieux à la démonstration géométrique de ses pro- 

 priétés . 



J'indiquerai d'abord rapidement la disposition de ses 

 foyers. Elle a quatre foyers singuliers, qui sont les foyers 

 communs aux quatre coniques G, Gi, Go et G3. Elle a seize 

 foyers ordinaires, qui sont les points d'intersection de cha- 

 cune des coniques K, Kj, K2 et Kg, avec celui des cercles 

 S, Sj, 8-2 et S3 qui lui correspond. Quatre de ces foyers sont 

 réels; ils peuvent être tous les quatre sur un des cercles 

 que je viens de mentionner, ou être distribués deux à deux 

 sur deux de ces cercles. De là deux classes principales dans 

 l'ensemble des anallagmatiques. 



8. Propriété géométrique relative à trois foyers quelconques 

 situés sur un même cercle. — Considérons, par exemple, le 

 cercle S et f, g, h, trois foyers situés sur ce cercle; ces trois 

 points se trouvent également sur la conique K. Soit M un 



