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géodésiques (ce) et leurs trajectoires orthogonales (y). Les 

 éléments de lignes géodésiques compris entre deux trajec- 

 toires orthogonales consécutives étant égaux, les carrés 

 compris entre les deux mêmes trajectoires sont tous égaux 

 aussi ; par suite la courbure géodésique de chacune des tra- 

 jectoires, qui est égale (si l'on désigne par cbj l'élément de 



trajectoires et par dx l'élément de ligne géodésique) à — - — ^7- , 



est constante. Le système des trajectoires est donc formé de 

 lignes d'égale courbure géodésique. 



Or, il est facile de démontrer le théorème suivant, que 

 j'ai déjà énoncé ailleurs : 



THÉORÈME, — Quand il existe sur une surface un système de 

 lignes géodésiques ayant pour trajectoires orthogonales un 

 système de lignes d'égale courbure géodésique, on, en d'autres 

 termes, d'après le théorème de Gauss , quand on peut tracer 

 sur une surface un système de lignes parallèles de courbure 

 géodésique constante, la surface est nécessairement applicable 

 sur une surface de révolution. 



En effet, la courbure géodésique de ces lignes peut être 

 regardée comme une fonction de l'arc s qu'elles détermi- 

 nent sur l'une des géodésiques, à partir d'un point fixe; dès 

 lors, si l'on considère la surface de révolution sur laquelle la 

 courbure géodésique des parallèles est exprimée par la même 

 fonction de l'arc de méridienne, on voit que les deux sur- 

 faces pourront être décomposées en carrés infiniment petits, 

 respectivement égaux entre eux, et, par suite, seront appli- 

 cables l'une sur l'autre. 



3. Mais quelle est la surface de révolution sur laquelle la 

 courbure géodésique des parallèles est une fonction représen- 

 tée par ç {s) de l'arc de méridienne? 



Si l'on désigne par x le rayon d'un parallèle, on trouve 

 tout de suite l'équation différentielle : 



dont l'intégrale première est 

 (2) X =^ 



- (p (s) ds. 

 ; == L, e J 



