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C'est là l'équation, en x et s, de la méridienne. Il y entre 

 un paramètre arbitraire C. Si l'on fait varier ce paramètre, 

 on a une infinité de surfaces de révolution toutes applica- 

 bles les unes sur les autres. Elles forment une famille dont 

 les surfaces individuelles se distinguent par la valeur du 

 module C. 



4. Le théorème précédent permet de reconnaître immédia- 

 tement que les héliçoïdes sont applicables sur des surfaces de 

 révolution, propriété découverte par E. Bour. Car il est 

 évident que les hélices décrites par les différents points du 

 profil générateur sont des lignes parallèles et de courbure géo~ 

 désique constante. 



5. Il y a plus ; on peut trouver très-simplement, par les 

 mêmes considérations, la relation qui existe entre le profil 

 générateur de l'héliçoïde et la méridienne de la surface de 

 révolution. 



Rapportons le profil de l'héliçoïde à l'axe OY de la sur- 

 face et à la perpendiculaire OX ; et considérons l'hélice décrite 

 par le point M dont les coordonnées sont X et Y. Si p est le 

 pas de la surface, la tangente à cette hélice en M fait avec l'axe 



2 X X 

 un angle a dont la tangente trigonométrique est ou, 



en posant ^~- = a, — .Si l'on désigne par £ et X les angles 



z X a 



que la tangente en M au profil fait avec OX et avec la tan- 

 gente à l'hélice, on trouve pour la courbure géodésique G de 

 l'hélice 



,„ „ sin^ a cos e 



{OJ (j = ■ :^ : — —, 



X sm X 

 ou, comme cos X := sin £ cos a, 



sin^ a. cos £ , ' 



(4) G = - 



X V 1 — sin^ £ cos^ a' 



ou, enfin, en remplaçant sin^a, cos%, sins, cose, par leur? 

 valeurs, 



