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Sur quelques propriétés relatives à la courbure des surfaces, 

 par M. P. Gilbert. 



J'aurai besoin, pour énoncer commodément ces propriétés, 

 d'introduire quelques expressions inusitées. 



I. Si, partant d'un point M sur une surface, on mène les 

 plans tangents en deux points infiniment voisins M et M', 

 et si l'on divise l'angle des deux plans par la distance MM' 

 de ces deux points, j'appelle le rapport ainsi obtenu : la 

 courbure de la surface suivant la direction MM'. La considé- 

 ration de l'angle de deux normales infiniment voisines, dont 

 M. Bertrand a montré l'importance, justifie l'emploi d'une 

 désignation particulière. 



Nommons R', R" les rayons de courbure principaux en M ; 

 1 



— la courbure -de la surface suivant une direction MM', a 

 r 



et a' les angles que cette direction et sa conjuguée font res- 

 pectivement avec la section principale de rayon R'. On éta- 

 blit sans peine les relations : 



s in a' cos a cos a! s in a 



r^ R' ' r R" ' 



d'oii découlent immédiatement celles-ci : 



1 cos^a. , sin^a. ,,, r. , if 



(A) -^ = -^TT + -p-r (M. Bertrand ) ; 



(B) tang a tang a! ■= — ^, , qui caractérise deux 



directions conjuguées dans l'indicatrice. On peut aussi re- 

 marquer que l'on a : 



r2 = R'2 siri'- a' -f R"2 cos"^ a'. 



i 



Soit — la courbure de la surface suivant la direction 

 r 



conjuguée de MM'; on a : 



