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J__ _ 1 

 r r "~ R' R"' 



ce qui est, suivant Gauss, la mesure de courbure de la sur- 

 face au point M. DonC; le produit des courbures d'une sur- 

 face suivant deux directions conjuguées est constant pour un 

 même point, et vaut la mesure de courbure de la surface en 

 ce point, ce qui renferme comme cas particulier une propo- 

 sition de M. Bonnet {Journal de VÉcolepohjtech., XXXII^ ca- 

 hier, p. 18). 

 Prenons sur la surface deux directions MMi , i\JM2, fai- 



1 1 



sant entre elles un angle quelconque 9 ; soient —, — ,les 



r^ r^i 



courbures de la surface suivant ces deux directions, 'C, l'angle 



compris entre les tangentes conjuguées respectivement à 



Mi¥i , MM2 . J'établis la relation : 



ic\ ^^^^ ^ svn^ 



Supposons l'angle 6 infiniment petit et substituons les angles 

 aux sinus, il viendra : 



1 _ J_ £J 



R' W ~ r-2 d Ô' 



ce que l'on peut formuler ainsi : Jm mesure de courbure en 

 un point est égale au carré de la courbure de la surface 

 suivant une direction arbitraire, divisé par le rapport des 

 déplacements infiniment petits simultanés de cette direction 

 et de sa conjuguée. En appliquant cela à une surface gauche, 

 on voit que la mesure de courbure de la surface, en un point 

 M, vaut le carré de la courbure de la surface suivant la 

 génératrice rectiligne qui passe par ce point. 



— Soient MGi ,.MG.2 , les directions respectivement conju- 

 guées à MMj , MM2 . On a l'égalité : . 



r, sin (Ml , G.2) — r.^ s in (M^, Gi) , 



c'est-à-dire que les courbures de la surface suivant deux 



