directions quelconques sont entre elles comme les sinus des 

 angles respectifs que chacune de ces directions fait avec la 

 conjuguée de l'autre. 



On peut énoncer cette relation sous la forme suivante : 

 Par deux points M^ et M2 , pris à des distances égales et infi- 

 niment petites d'un point M sur la surface, on mène à 

 celle-ci des normales; on projette chacune de ces^ normales 

 sur le plan passant par le point de départ de l'autre et par 

 la normale en M : ces projections seront également inclinées 

 sur la normale en M. 



Lorsque les directions MM^, MM2 sont rectangulaires, on 

 retombe sur un théorème bien connu, dû à M. Bertrand. 



II. On peut remarquer, comme conséquence de l'équation 

 (A)^ que si l'on construit une eUipse dont les demi-axes, 

 dirigés suivant les tangentes aux sections principales, soient 

 égaux aux rayons de courbure correspondants Pi', R" , le 

 rayon vecteur de cette ellipse pour une direction quelconque 

 sera égal à r , et mesurera la courbure de la surface suivant 

 cette direction. Mais cette ellipse n'est autre que l'indicatrice 

 dont on remplacerait les demi-axes par leurs carrés, et les 

 propositions précédentes donnent immédiatement les sui- 

 vantes relatives aux coniques, et que l'on peut d'ailleurs dé- 

 montrer directement : 



Construisons deux ellipses P et P' telles que les demi-axes 

 de la première coïncident en direction avec ceux de la se- 

 conde, mais soient respectivement proportionnels à leurs 

 carrés : 



4° Le parallélogramme construit sur deux demi-diamètres 

 quelconques D^ et D2 de l'ellipse P vaut le parallélogramme 

 construit sur les demi-axes de cette ellipse, assemblés sous 

 V angle K que forment entre eux les conjugués respectifs de 

 Dj et D2 dans l'ellipse P'. C'est une généralisation d'un 

 théorème connu sur les diamètres conjugués de l'ellipse, 

 car : 



2° Lorsque les diamètres U, et D2 sont conjugués dans 

 l ellipse P , leurs conjugués respectifs dans l'ellipse P' se 

 coupent à angle droit, et l'on retranche sur la propriété 

 connue . 



5° Le secteur elliptique compris entre deux demi-dia- 

 mètres Di et D2 dans l'ellipse P, est proportionnel à V angle 



