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D'où je tire immédiatement et sans avoir besoin d'aucune 

 formule auxiliaire le célèbre théorème de Gauss sur la 

 courbure totale d'un triangle géodésique. La formule (D) con- 

 duit de même directement au théorème plus général de 

 M. Bonnet sur la courbure totale du triangle formé d'arcs 

 de courbe quelconques. 



IV. J'ai obtenu divers théorèmes qui présentent de l'analo- 

 gie avec les précédents. Ainsi ; Lorsque deux systèmes de 

 courbes quelconques se croisent sur une surface, en chaque 

 point, V expression : 



cas (pi, P2) cos {o.i, §2) 



Pi P2 §1 §2 ' 



cest'à-dire le cosinus de l'angle des rayons de courbure 

 divisé par le produit de ces rayons , moins le cosinus de 

 l'angle des rayons de déviation divisé par le produit de ces 

 rayons, reste invariable dans les déformations de la surface. 

 Le théorème de Gauss est un cas particulier du précédent, 

 car si l'on prend pour lignes Cj et c^ les lignes de courbure 

 de la surface, on reconnaît d'abord, l'angle 6 étant droit, 



cos (p,| , po) , , . , 1 



que ■ —^ se réduit à 777-777, ; d autre part, les tan- 



Pi P2 n n 



gentes aux lignes c^ le long d'une ligne c^ forment une dé- 

 veloppable, les rayons de déviation tombent dans le plan 

 tangent, et l'on a : cos (Sj , §2) =- 0. 



— Lorsque l'on suppose l'angle ô constant, on démontre 

 la relation : 



cou (pi, P2) _ cos {Oj, 02) _ sin'^ 

 Pl P2 §1 §2 ~ R' R" ' 



qui est la traduction algébrique de cette propriété des tra- 

 jectoires sur une surface quelconque : Si deux systèmes de 

 courbes se coupent sous un angle constant sur ime surface, 

 en chaque point, le cosinus de l'angle des rayons de cour- 

 bure des deux courbes divisé par le produit de ces rayons, 

 moins le cosinus de l'angle des rayons de déviation divisé 

 par le produit de ces rayons vaut la mesure de courbure 



