de la surface en ce point multipliée par le carré du sinus 

 de Vangle d'intersection des deux systèmes. 



On tire de là diverses expressions de la courbure que je 

 développerai ailleurs. 



— Si les lignes Ci , c^ sont géodésiques, on trouve sim- 

 plement : 



r_ço£_(p^_^ __ cos (Z, 8.) 1 ^^^ ^^^ _ _ ^^ ^^^ ^^^^^ 



L pi P2 Ol °2 J 



d'où il suit que si ABCD est un quadrilatère formé par quatre 

 lignes géodésiques, on a, en étendant l'intégrale à tous les 

 éléments de l'aire de ce polygone : 



// 



pi P2 §1 02 



dsids2=—{cos A+cos B-t-co5 C+cos D). 



V. — Considérons sur une surface un arc de courbe quel- 

 conque C ; faisons la somme des angles de contingence géo- 

 désique de tous les éléments de cet arc ; appelons cette somme 

 la courbure géodésique intégrale de l'arc C. Concevons 

 d'autre part que l'on reporte la courbe sur une sphère de 

 rayon 1 à la manière de Gauss, c'est-à-dire qu'aux points 

 correspondants de la courbe C et de sa transformée C sur la 

 sphère, les normales aux deux surfaces soient parallèles. 

 Je montre, par une voie géométrique très-simple, que : 

 Vangle ç que fait la tangente à la courbe C avec sa conju- 

 guée varie , quand on passe d'une extrémité à F autre de 

 l'arc C, d'une quantité égale à la différence entre la courbure 

 géodésique intégrale de la transformée C et celle de l'arc C 

 lui-même. 



Et comme cas particulier : Si la cow^be C est fermée, 

 sa courbure géodésique intégrale est égale à celle de sa 

 transformée C sur la sphère . Rapprochant ceci du théorème 

 élémentaire de M. Bonnet sur le lieu des extrémités des qua- 

 drants tangents à une courbe sur la sphère, on voit à l'ins- 

 tant que la courbure totale de la portion de surface limitée 

 par le contour fermé C a pour valeur Stc, moins la courbure 

 géodésique intégrale de ce contour, ce qui renferme évidem- 

 ment le théorème général de M. Bonnet (Mém. cité, p. 131) 



