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sur la courbure totale de la surface limitée par un contour 

 polygonal quelconque. On a ainsi une démonstration, à peu 

 près intuitive, du beau théorème de Gauss sur le triangle 

 géodésique, généralisé. 



Le théorème cité plus haut permet de remplacer, dans 

 l'expression de la courbure totale d'un triangle curviligne 

 donnée par M. Bonnet, la courbure géodésique intégrale de 

 chacun des côtés du triangle par celle de son correspondant 

 sur la sphère, pourvu que l'on y substitue aussi, aux angles 

 formés par les tangentes aux sommets du triangle, les angles 

 formés par leurs conjuguées. En sorte que si 2 désigne la 

 courbure totale d'un triangle A B G; Aj, Bj, C^, les angles 

 conjugués respectivement à A, B, G; g^ g', g" les courbures 

 géodésiques intégrales des côtés du triangle reporté sur la 

 sphère, on a : 



2 = Al + B^ + Gi - X - (^ -1- gr' 4. g"). 



En appliquant cette formule à quelques cas où g, g', g" 

 sont faciles à déterminer, on obtient des théorèmes analogues 

 à celui de Gauss. En voici un ou deux : La courbure totale 

 du triangle formé sur la surface d'un ellipsoïde par trois 

 sections diamétrales conjuguées est égale à %%, moins la 

 somme des angles du triangle. — Si l'on considère sur 

 une surface quelconque un triangle formé par trois arcs de 

 courbe, dont chacun est tel que la normale à la surface 

 menée par ses différents points fait un angle constant avec 

 une direction invariable, en appelant \ cet angle et N l'angle 

 des normales extrêmes, pour le premier côté ; )/, N', \", N", 

 les quantités correspondantes pour le second et le troisième 

 côté, on obtient pour 2 une expression qui se réduit, lors- 

 qu'on suppose tous ces angles très-petits, à celle-ci : 



2 = Al 4- Bi 4- Gi — TC — (N coU + N' cot \' -f N" cot V). 



Il va sans dire que pour assurer aux résultats qui précèdent 

 la généralité convenable, il y a certaines conventions à 

 observer sur les signes dont on doit affecter les angles et 

 les segments : mais ces détails trouveront leur place ailleurs. 



