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Cette formule, inscrite sous le n» (2) dans le mémoire cité, 

 a été écrite sous une forme plus simple, provenant de ce 

 que, d'après un théorème que nous avons établi, les deux 

 facteurs du dernier terme sont égaux. Elle nous a conduit 

 à des formules qui sont du même ordre que celles conte- 

 nues dans le paragraphe précédent. En effet, si l'on pose 

 pour abréger : 



A A 



1 cos Ri R^ cos Ly L<i 



H Ry R^ Z/j Z/2 



on a : 



{{)' di (Il 8%n ç) — d^ (1.2 sin ç) = — ^— — ^ -|- d^, d.^ cos ?. 



n 



Cette formule, qui ne manque pas de simplicité, a l'avan- 

 tage de présenter sous une forme expressive la valeur de 



l'élément — ^— — - dont M. Gilbert ne donne l'expression 



que dans deux cas seulement, lorsque l'angle f est constant, 

 lorsque les lignes coordonnées sont géodésiques. Mais la 

 forme que nous venons de donner mérite d'être connue. Il 

 est aisé de voir que cette équation correspond à l'équation (4). 

 Écrivons les deux formules suivantes ; 



Ji — Il = di ? j ^-2 — J2 = ^^2 ? > 



que nous avons établies dans notre théorie des coordonnées 



curvilignes, page 11, et desquelles ne diffère pas la formule 



donnée par M. Gilbert, paragraphe III de son mémoire ; on 



1 15 ,1 , d Qt d Q^ 



obtient une nouvelle expression de 1 élément — en 



n 



fonction des projections tangentielles des angles de contin- 

 gence inclinée lorsqu'on élimine, au moyen de ces for- 

 mules , les angles de contingence propre de l'équation (1)'. 

 Cette expression est : 



(3)' d=i (Ji sin f) — dj (J2 sin *) = — ^tt — ^ — d^ d^ cos <d. 



n 



