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Les formules (1)' et (3)' forment un système de deux équa- 

 tions, dont la résolution donne séparément la valeur de 



1» M , d (Ja d (j.j 1 , , , . . , 



1 élément — — et la double variation du cosinus 



H 



(4)' rfa I («fi + Ii) sin <?\ —di \ {i^ + I2) sin ? j = ^ — 1^ 



(S)' 6?2 J(Ji — II) sin ©j —di j(J2 — lijsiïKf^ = — '^did^oos(^ 



lesquelles correspondent aux formules (4) et (5). 

 Enfin, si l'on remarque que l'on a aussi : 



(^)'di^d^cos<sj-=zd^ (J^si^f) — d^ (lasmf) =c?2 (IiSîWf) — di{] ^sina^) 



l'on obtient les expressions simples de l'élément qui nous 

 occupe : 



//î\/ -, ,, . X 7 /r • V d G, d Go 



(6) d.2 (Ji sm cp) — di (I2 sm cp) = 



^2 (Il sin cp) — di (J2 sin 9) = 



H 



d Qi d Q-i 



ÏT"' 



Les conséquences de ces diverses formules sont nombreuses; 

 il n'entre pas dans notre but de les développer maintenant. 

 Nous nous proposions seulement de démontrer que non-seu- 

 lement nous avons introduit la notion de courbure inclinée 

 des lignes coordonnées, mais que nous avions encore établi 

 les formules à la fois les plus simples et les plus générales 

 relatives à la courbure des surfaces. En remplissant ce de- 

 voir, il est loin de notre pensée de chercher à diminuer le 

 mérite des recherches de M. Gilbert, ainsi que la valeur des 

 conséquences qu'il a tirées de ces formules. 



