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 1» Cette condition est nécessaire. En effet, si le produit ww„, 



Un 



OU, ce qui est la même chose, le rapport 1 convergeait vers une 



n 



limite plus grande que zéro : pour des valeurs infiniment grandes 



1 

 de n, lin serait du même ordre de grandeur que — ; par conse- 



n 



quent il suffirait de multiplier par divers coefficients finis las 



J , • 1 1 1 A ■ 



termes de la série — , — — • , — r^..., etc., pour reproduire res- 

 n n-{-l n-{-2 



pectivement les termes de la série «„, ««^i, m„_(.s..., etc. Or, 

 soit k le plus petit de ces coefficients {k ne sera ni nul, ni infini- 

 ment petit, mais fini , puisque les termes de cette dernière série 

 ne sont ni nuls, ni infiniments petits par rapport à ceux de la sé- 

 rie précédente, mais sont du même ordre de grandeur) : les ter- 

 mes de la série u„, w„4., , v„^„..., etc., seront tous plus grands 



. k k 

 ou du moins de même valeur que ceux de la série — , ■ — p—, 



n w-j-i 



A; 

 .... etc. Mais on sait que cette dernière série est divergente : 



n-\-2 



donc la précédente le sera aussi, et par suite aussi la série propo- 

 sée. Il est donc nécessaire que le produit nu,t converge vers zéro 

 pour que la série proposée soit convergente. 



2° Cette condition suffit. En effet si le rapport 1 converge 



vers zéro pour des valeurs infiniment grandes de n, u„ sera un 



' 1 



infiniment petit d'ordre supérieur à celui de—- , et sera , par 



i 



suite, de l'ordre , p. étant plus grand que l'unité. Les termes 



nf- 



delà série «„, Un+,, «„4.,..., etc., seront donc du même ordre 



11 J 

 de grandeur que ceux de la série—,-- — ; — - „- — ; -..., etc. 



(les exposants f*, jz', f*"... étant tous plus grands que l'unité). Il 

 suffira donc de multiplier par divers coefficients finis les termes 



