324 INTORNO ALLA FORMAZIONE ED INTEGRAZIONE ECC. 



ricavata da essa la risoluzione genei'ale delle equazioni di quinto grado. 

 Di ciò mi sono occupato nello scritto che ho l'onore di presentare al- 

 l'Accademia ; e dopo avere stabilite in iriodo assai semplice le equazioni 

 a diflferenziali ordinari leste accennale^ ne trovo l' integrale completo che 

 Jacobi non ha dato e mostrò desiderare che fosse trovato ; indi da questo 

 integrale completo, senza ricorrei-e ad altri principii per cui si ammette 

 una certa relazione fra i trascendenli ellittici completi di prima specie , 

 traggo l'equazione a differenziali parziali che determina gli stessi nume- 

 ratore e denominatore; ottengo nel medesimo tempo la notabile espressione 

 del moltiplicatore per mezzo del modulo primitivo, del modulo trasformato 

 e dei loro differenziali , e l'equazione differenziale di terzo ordine tra quei 

 due moduli ; e portasi l'occasione , correggo alcune formole di Jacobi ; 

 e trovo pure gì' integrali completi di siffatte equazioni. Le considerazioni 

 e i calcoli che espongo presentano un'applicazione del metodo , che può 

 dirsi iniziato da Abel e che fu promosso particolarmente dai signori 

 LiouYiLLE e Tchebichef , per determinare i casi in cui un' integrazione 

 può effettuarsi sotto una data forma algebrica o trascendente, razionale 

 o irrazionale ; e in ispecial modo dimostro e applico un teoi-ema generale 

 pel quale dovendosi ridurre ad un' identità ogni equazione algebrica fra 

 certe funzioni trascendenti , ne derivano utili relazioni fi'a le altre quantità 

 in essa comprese. 



Ottengo inoltre le funzioni che soglionsi chiamare Jacoblane , espresse 

 mediante un integrale duplicato, e l'equazione semplicissima a differen- 

 ziali parziali di primo e second'ordine, alla quale debbono soddisfare, 

 usando , per giungere a questa equazione , una trasformazione che può 

 servire alla riduzione d'altre equazioni consimili ove siano adempiute 

 certe determinate condizioni. Dalle stesse formole discendono le espressioni 

 del numeratore e del denominatore dianzi mentovate, formate col mezzo 

 delle Jacobiane. 



Finalmente indico l'uso delle equazioni a differenziali ordinari che 

 appartengono agli stessi numeratore e denominatore , per determinare i 

 coefficienti di queste funzioni, e ne deduco una verificazione semplice e 

 facile delle formole analitiche della trasformazione. 



Tali sono gli argomenti esposti nel presente scritto ; a trattare i quali 

 confesso avermi spinto , non ultima causa , il pensare che foi'Se metodi 

 eimili a quelli che ho qui seguiti , possano giovare nello studio di funzioni 

 trascendenti d'un ordine piti elevato. 



