226 INTORNO ALLA FORMAZIONE ED INTEGRAZIONE ECC. 



onde per essere primi tra loro i polinomi U e P', chiamala R una 

 funzione intera di a; , si concliiude : 



P(UV"—U'^)-^QUU'-\-[i'F' = RU' , 



Sia in primo luogo 7i = 2 7?z-ì-i il grado del polinomio C/, n — i = 2ot 

 quello di F; il primo membro della prima delle due equazioni ottenute 

 sai'à di grado 272-5-2 , il primo membro della seconda sarà di grado an, 

 ed essendo £/^ di grado 2.ìi , F"" di grado 271 — a, ne seguirà che R 

 non passerà il secondo grado, e dovendo contenere soltanto potenze pari 

 di X, avrà la forma Ax'^-k-B con J e B costanti. Ora posto 



U=aaX-\-a,a:^-^ . . . H-a^JC'""*"', F=^i-i-b,x''-^b^x''-ìr ■ . ■ -t-è^o-"", 



facendo a: = o si troverà'. 



U — o, F—i, F'—o, F"=:ib,, P=i , Q = o , R=zB , 



e pei'ò la seconda equazione darà 2b,=B; prendendo invece il termine 

 più elevato nel primo e nel secondo membro della prima , si avrà : 



k'-x'' ((^^„x". n(n — i)x''~^ — 7tV^=-,„x'"~'')-i-2 A■^x^a^„:r". 7l.x''■"'=^x^a^„.J^", 



onde A^nlx. Dunque Rz^nk"^ x^-k- 2.b, . 



Sia in secondo luogo n=^2ni il grado di F, n — 1=2772 — i il grado 

 di U; il primo membro della prima equazione sarà di grado 272, e il 

 primo membro della seconda sarà di grado 2 72 -H 2 , sicché R sarà ancora 

 della forma Ax^-^B; fatto x=:o si avi'à dalla seconda 2è,=Z?, sup- 

 ponendo F come dianzi , e i termini più elevati della medesima equazione 

 daranno : 



k'^x'' (b^nX".n{n — i)a:"~^ — 7t^è\,.r"'~^)-t-2 A-^x'. b^^x" .n x^^'^r:- A x^^.b^^x^" , 



ossia A-=.nk''. Dunque anche in questo caso R = nk^oc'-^2b, . 

 Avremo pertanto in ambedue i casi : 



l P(UU"—U'')-^QUU'-^ix'F'—{nì^x'-+-2b,)U'=o . 

 ^^^'"\ p^FP'''—P''')-\-QFF'-i-}:!J.'U'—(nk'x'-^2b,)F'=o , 



d X 

 Queste equazioni si rendono alquanto più semplici sC; posto yz=z=du^ 



