220 INTORNO AI.I.A FOUMAZIONE ED INTEGRAZIONE ECC. 



II. 



La prima delle equazioni (3) somministra V espresso per mezzo di 



,^ U __ e , ^ : differenziandola e poi sostituendovi questa espressione 

 ' du alt ' -^ ' 



di f^, e l'espressione y~P di -j— , se ne trarrà — — espresso per mezzo 



^, dU d'U dW . . ., , ,,, . .^. , 



di X , U, -z — j -j-^ e , 3 ; mime sostituendo nell equazione (4) le 



dJ>^ 

 trovate espressioni di f^ e —, — , si otterrà un'equazione differenziale di 

 *^ au '■ 



terz'ordine tra U e, 11, nella quale x sarà una funzione cognita di u e 

 i)otrà denotarsi come si usa con sen. amji. Similmente differenziando la 



dU 

 seconda delle equazioni (3), ricavandone Uè — — , e sostituendo nella (4) 



si otterrà un'equazione differenziale di terzo ordine tra P~ e u. Si ha 

 dunque tanto per determinare U, quanto per determinare J^ un'equazione 

 differenziale di terz'ordine, il che costituisce secondo Jacobi un a theorema 

 » memorabile satis reconditum » (Giornale di Creile, t. IV, p. 3^7), e 

 porge occasione ad una ricerca che a Jacobi stesso pareva non facile , 

 quella dell'integrale completo di tali equazioni. Riferisco le sue parole: 

 « Integrale completum acquationum differentialium tertii ordinis quibus 

 )) functiones U, V definiuntur, in promptu esse non videtur » (/i.). 

 Si giunge nondimeno a trovarlo nel modo seguente : 

 La seconda delle ecjuazioni (3) si può mettei^e sotto la forma 



e se facciamo Vzzzrs , chiamando r ed s due funzioni da determinarsi, 

 potremo spezzarla nelle due 



f/Moe. r / 7z 2 , s d^XoiL.s .3, ^ t/^ 



— j-i (nk x-Jf-ib,)=zo , — j-H, HA a -7^ = , 



du dii f^ 



e integrando la prima coll'aggiunta di due costanti arbitrarie A t B, avremo: 



tn 



d 



ili _ j 



o 



« u 



log.7T=« A'"' I dui diLsen^amu^2b,u-i~ An-+-B 



