PER ANGELO GENOCCHI 24 I 



, ,,_ U ,,_ Bz. z, ., ., 



SI avrà _^' = }/x. -^=|/ ^. -^— = — , e z, , z saranno il numeratore e il 



denominatore d'una fi^azione eguale alla funzione trasformata j , e sod- 

 disfaranno l'uno e l'altro alla medesima equazione (i8). 



Questa equazione a differenziali parziali fu data da Jacobi e dimostrata 

 in altro modo dal sig. Cayley (V. Giornale di Liouville , 1862, pag. iSg), 

 e dal Prof. Betti [Annali di Matematica , tom. IV, pag. 63) : essa som- 

 ministra uno dei mezzi più comodi per formar Yequazione modulare e 

 determinare i coefficienti de' polinomi z e z, , come ivi mostrò lo stesso 

 Betti. 



L'equazione (i 3), dovuta pure a Jacobi e notevolissima, serve a 



determinare per mezzo dell'equazione modulare il moltiplicatore M=-- 

 L'equazione (i4) determina il coeQicicnte b^ , e somministra 



du. ,, ^^f» 2 / ^ du. k dk\ 



da kdk ^, k' , ,,,. ^^^"S'j/^' 



~ i-r^ = alog. -^, , e b,=nkk' . ~^ — . 



p. k' * p.V dk 



L'equazione (17) diverrà n . ^ . -y—. dk-^nkk' A dìos.ì/ ^t-j = o , ossia 

 ^ ^ '■^ k doc ^ f [J.X' 



Il jj -a I~1T 



/ — Vr = o , e darà fruindi Az=\ -—-.. 

 ' [j.W ^ _ f [J.1' 



Nel caso deila semplice moltiplicazione delle funzioni ellittiche , fj. è 

 un numero intero m, X uguaglia k, dX uguaglia dk, talché le equa- 

 zioni (i3) e (i4) danno 7iz=:m^ e b,= o , e l'equazione (17) è verificata 

 da J=i. 



Aggiungendo l'equazione (i5) alle (i3) e (i4) ed eliminando b, e [j. 

 fra queste tre si troverà un'equazione differenziale di terz'ordine tra i 

 moduli k e X , nel che Jacobi ravvisa la più insigne proprietà delle 

 equazioni modulari (*). 



(*) « At inler affeolus aequalionum modalariutn id maxime memorabile ac singulare niihi videor 

 » animadverlere, quod eidem omnes aequationi differcnliali tertii ordinis satisfaciant » f Fund. NoTa , 

 $ 33 , pag. 79). 



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