azja INTORNO ALLA FORMAZIONE ED INTEGRAZIONE ECC, 



VII. 



Per dimostrare la proposizione che ho ammessa nel § V circa l' im- 

 possibilità d'un'equazione algebrica tra u, sen. am« e (/«sen/amif, 



o 



premetto il teorema seguente : 



d oc 



Se X sia una funzione della variabile u, sfatto — — ^p , si sup- 

 ponga che dijfferenziando p rispetto ad u si trovi una funzione esprimibile 

 razionalmente per mezzo di il , x e p ; se inoltre y sia. una funzione 

 algebrica di u, xep, Vintegrale \ydu non potrà essere una funzione 

 algebrica non razionale delle quantità u , X , p e y. 



Imperocché posto i jdx = z , dovranno J e z essere determinati da 

 due equazioni della forma 



j'"-+- V,f'" - '-t- F, j" - ^-1- . . . -I- r„ _ , j -H r„= o , 

 z" -i-Z, z"~'-+-Zi z"~*-H. . . -t-Z„_, z -4-Z„ =o , 



in cui ì\ , ì\ . . . Y^ saranno funzioni razionali dà u , x e. p , e Z, , 

 Z^ . . . Z^ sai'anno funzioni razionali di\ u , x , p e r • differenziando queste 

 due equazioni , si avrà 



[mf"-'-\-{m — i) F.j""-"^-»-... -i-V„,_,]dj-^j'"~'dì\-\-j'"~^dY^-¥-...-i-dY^:=o , 

 [n z''-'-i-{n — i)Z, z"~'-H...H-Z„_,]Js-4-z"~'c?Z,-+-z"~'^Z;,-l-...-l-(/Z„=o ; 



e sostituendo nella seconda di queste il valore di dj- dato dalla prima , 

 sostituendo poi jdu in luogo di dz, pdu in luogo di dx , e in luogo 



di ~- la data funzione razionale di u , x e p , otterremo un'equazione 



razionale tra u, x , p , j e s che sarà di grado n — i l'ispetto a z. Cosi 

 da un'equazione di grado n avremo dedotta una simile equazione di 

 grado n — r, e seguitando nello stesso modo dedurremo dall'equazione di 

 grado n — i un'altra di grado n — 2 ; poscia diminuiremo ancora d'una 

 unità il grado di quest'equazione, e continuando giungeremo infine ad un'e- 

 quazione di primo grado, che darà z funzione razionale à\ u , x , p e j- 

 Tuttavia non si potrà procedere piìi oltre quando s' incontrerà un'e- 

 quazione identica : suppongasi per esempio che sia identica l'equazione 

 del grado n — i, e ciò avverrà necessariamente quando s'intenda, come 



