PER ANGELO GENOCCHI 243 



è permesso , già ridotta al minimo grado l'equazione che determina z , 

 poiché allora un'equazione del grado inferiore n — i non potrà sussistere; 

 dovendo esser nulli tulli i coefficienti, il coefficiente di s"~' darà 



Z . . . 



ndz-{-dZ,=:o , e però s= '- funzione razionale ài u , x , p e j. 



Adunque se l'integrale z=i j-du è funzione algebrica di queste 

 quantità , sarà esprimibile r^azionalmente per mezzo di esse. 



Nel caso particolare in cui j sia semplicemente una funzione algebrica 

 di II , si avrà un teorema noto di Abel (*). 



Ora supponiamo che u non sia funzione algebrica dì x e p , e che 



-r- sia funzione razionale dì x e p soltanto. Se r sia funzione razionale 



du ' ^ 



dì u , X e, p , anche z sarà tale , e potremo fare 



intendendo con A, B, C, A^, B,, C, altrettante funzioni razionali di 



u , X e p , tutte intere rispetto ad u e tali che il grado di B rispetto 



ad u sia inferiore a quello di C e il grado di i?, sia inferiore a quello di C, . 



Doyendo essere jdu = dz , posto dA.^A^du, C,dB, — B,dC,=B:,dii, 



avremo 



\i B . B, 



e saranno A^ , B^ fiinzioni razionali dì u , x e p intere rispetto ad u ; 

 inoltre il grado di B, rispetto ad u sarà inferiore a quello di C,': ne 

 conchiuderemo : 



A-A^ , c~c: " 



Se finalmente y è funzione razionale ò\ x e p solamente , A non 



■jD 



conterrà jì , e si annullerà la frazione -^ : dunque similmente A^ non 

 conterrà it , e la frazione -^ si annullerà , sicché dovrà sparire anche 



la frazione -^^ , e la funzione A^ si ridurrà alla forma au-^X , dove a 



indicherà una costante e X una funzione razionale dì\ x e p. Si avrà 

 dunque \jdu-=.au->rX, e j ( j — a)du=.X ; laonde se per nessun 



e) V. Mém. de l'Instilut, Savans étrangers, lom. V (1838), pag. 140. 



