244 INTORNO ALLA FORMAZIONE ED INTEGRAZIONE ECC. 



■valore di a \ integrale I (j — a)du può ridursi ad una funzione razionale 

 di jr e /j , si dovrà dire che non può sussistere alcuna equazione alge- 

 brica tra u , X , p , j e z. 



Ciò si applica immediatamente al caso del g V, nel eguale 



.r:=y /jsen. amif , yo = |//ii^=|/ /i (i — «x^-i-x'') , j' = sen.''ami(= — , 

 poicliè il sig. LiouviLLE ha dimostrato ("') che nessuno degl' integi'ali 



X U X U X 



Cdx f C.xdx e [{x" — ah 



— a li) dx 



è funzione algebrica di x. 



Del resto è facile ampliare il teorema precedente , considerando in 

 luogo delle due x e p più funzioni quali si vogliano x , x, , x^ , . . . . , 

 e supponendo tanto le loro derivate relative ad u , quanto y funzioni 

 algebriche di u e delle stesse quantità x , x, , x^ , 



Vili. 



'y fi Jc O fJA 



Dalle equazioni (i4) e (i5) si trae, facendo ^^~p-^=dl e r-r-rT=(/Z, 



7 ,1 z du. „ 



2 O, / p. -f- 2 /J. . -jj ^ — ìik , 



ci Lì 



.;. , Q , dix ,.^1, - , i , db, j , 

 kp.''-i-oo,[j..~j —^A [j. b,-\-^b, — ■i\n.—jj=.nk ; 

 ci Ld ut 



quadrando la prima , e sottraendola poi dalla seconda , si otterrà : 



,ìM^ ,^zod[j. , .da , db, ,,2,,^ 



ma la prima darà pure 



db. -j du. du. d u. dLd^u. — dixd'^L 



di ^ di di dL ^ dL di 



. ^ di j dk 



^,l,,.--2nk.j-^, 



(') Mémoires de l'instilut, Savans ctrangers , toin. V (1838), pag. 90. 



