256 INTORNO XiA.A FORMAZIONE ED INTEGRAZIONE ECC. 



u 



fatto 



j- = -^. Ponendo log.j- = i, e prendendo t per variabile indi- 



, . , d^'ìos.r . dt^ d^u . , 



pendente , si Gambiera — -j^r- m j—. . -r-^ , e si avrà 



^ ' du du^ dt 





che, integrala con una costante arbitraria C, darà 



^)"=,/.(X'."+«-+C), 



( 



Ailinchè questa si accordi con la (i) bisognerà che sia Cr= — i — X', e 



dy 

 e quindi che per j= i si abbia -^ = o. 



Tali sono le condizioni a cui deve soddisfare ogni soluzione razionale 

 dell'equazione (i) data da polinomi U e P^ della forma indicata; e allo 

 stesso modo si troverebbero quelle che corrispondono ad n pari. E facile 

 riconoscere ch'esse sono adempiute dalle celebri formolo di Jacobi. 



Osservo dapprima che supposto generalmente /3,^=j^ — j, la seconda 



delle (36) è soddisfatta, e si ha y (|3,-)^ ^l ', e supposto anche 



|/y(|3j)= — i-^p~- , la seconda delle (35) si ridurrà alla prima e la (34) 



alla (32). Di più, se ad 07=1 corrisponda ^ = i , cioè -77-= 1 > si ^^^'^ 

 la relazione 



l^n\ \u — k (i — g'.'Xi — «/)••• (i-«m^) 



^^^^ '^-^■(i-|3/)(x-(3.^)...(i-M' 



ed essendo ^ = -f^.V"/J, e P=o per jcz=i, ne risulterà eziandio 

 du dx ' 



dy 



—-■=.0 per j= i : il perchè resterà solamente che le quantità «, veri- 

 fichino la (32) e la prima delle (35) , e che >, e p. siano determinati 

 secondo la prima delle (36) e la (3^). 



Ciò premesso , dalle forinole di addizione e sottrazione abbiamo 



