DI ANGELO GENOCCHI 3oi 



sotto forma finita d'una classe d'equazioni differenziali e specialmente 

 dell'equazione del Riccati. In una Memoria presentata all'Accademia 

 delle Scienze dell' Istituto di Francia il Liouville diede una regola 

 da cui risulta che quell'equazione non è integrabile se non nei casi 

 nei quali già si sapeva trovarne 1' integrale in termini finiti (i), e la 

 sua dimostrazione fu tenuta per soddisfacente dagli annalisti e in ispecie 

 dal sig. Malmstèn che applicò la regola del Lioutille ad un'equazione 

 apparentemente più generale, e dal Prof. Brioschi che dimostrò una 

 siffatta applicazione (2). Ma nondimeno esaminandola attentamente si 

 trova ch'essa non è del tutto rigorosa e compiuta nella parte che si 

 riferisce all' integrazione meramente algebrica ; per la qual cosa stimo 

 far opera non discara agli amatori del rigore matematico ripigliando 

 l'argomento per esporre un'altra dimostrazione che reputo esente da 

 ogni difficoltà , e nella quale mi valgo di sostituzioni già usate da 

 gran tempo per l'effettiva integrazione della stessa equazione del 

 Riccati. Avrò così obbedito ai precetti e imitato gli esempi del medesimo 

 LiouviLLE che credette non inutile di sostitiiire altre prove a certi 

 ragionamenti di Leibnizio e Laplace per dimostrar teoremi di simigliante 

 natura, e insegnò che « une rigueur absolue est indispensable dans ces 

 recherches qui ont quelque rapport avec la théorie des nombres (3)». 



Del resto i principii a cui ricorro sono i medesimi che propose il 

 sig. LiouviLLE a più riprese per lo studio di tali questioni (4), e che 

 formano un metodo ingegnoso e notabilissimo da non abbandonarsi del 

 tutto , sebbene le nuove teoriche intorno alle funzioni di variabili 

 immaginarie abbiano aperte altre vie, poiché, se non erro, può ancora 

 esser utile in ricerche particolari. Ho creduto anzi di esporre compiu- 

 tamente i principii or accennati sì per la integrità della dimostrazione , 

 e sì per dedurne conseguenze alquanto più ampie di quelle che ne ha 

 tratte e delle quali ha avuto bisogno il sig. Liouville. 



Ho pur applicato gli stessi principii agi' integrali Besseliani e a quelli 

 che si dicono trinomii, e comprendono gl'integrali ellittici di prima e 

 seconda specie e la somma d'una celebre serie ipergeometrica ; e ho 



(1) Comptes rendus de l'Acad. des Sciences, tota. XI, pag. 729. Journal de Malhem. I84l , 

 pag. 1-13. 



(2) Annali del Prof. Tortolini, 1851 ; Creile, tom. 39, pag. 110. 

 .(3) Mémoires.de l'Institut, Savans élrangers, 1838, pag. 98. 



(4) Journal de Malhém. , 1839, pag. 423; 1840, pag. 441 j 1841, pag. 1. 



