3o2 STUDI INTORNO AI CASI d'iNTEGRAZIONE ECC. 



finito con alcuni teoremi generali intorno all'integrazione delle equazioni 

 differenziali lineari (i). 



1. Data un'equazione differenziale lineare a due yariabili d'ordine 

 71"^""", si può farne sparire il secondo termine, cioè la derivata d ordine 

 71 — I, cambiando opportunamente la variabile indipendente ovvero 

 la funzione. Sia 



(■) 'j£-^'''£*'}^='' ' 



un'equazione differenziale lineare di second'ordine , supponendo che 

 P, Q , R siano funzioni della sola variabile indipendente x. Cambiando 



Il , dt 



questa in un altra t e ponendo -=— =yD , troveremo: 



donde sparirà la prima derivata -— - , se facciasi —- -\- Pp = o , ossia 



—fpdx ^ e —fPdx 



pz=ze , e però ^=le dx. Ammesso che da questa equazione 



si possa dedurre l'espressione di x per mezzo di t , si sostituirà una 



tale espressione in p , P , Q , R, e allora l'eqxiazione differenziale sarà 



ridotta alla forma 



« ^='^^-+■5/' 



ove p, R, S saranno funzioni note di t. 



Si può invece cambiare la funzione f, poiché facendo y^uv e 

 intendendo con u e v due funzioni incognite , si trova 



~\fPdx ,. 

 ' — " , diventa 



d V dv ( du „ \ Id li T^ du „ \ _ 

 u--j-^,-Jr-T--['2--, — V-Pu)-^v{ -j—.-^P-j hQu) = B , 



dx dx \ dx I \dx dx / 



la quale, fatto 2.-7 \- Pu = o , ossia u^e 



dx^ \ 2 dx 4 / 



(1) Non ho fatta menzione d'una Memoria del P. Pepin pubblicala negli Annali del Professore 

 ToRTOLiKi , 1863, percbè Tenne a mia notizia soltanto dopo che questi studi erano terminati. 



