DI ANGELO GENOCCHI 3o5 



(8) pi=m-^. 



^ ■' dt t 



Presa f {()•=. A C-\-B , con A e B costanti, sarà 

 d^v / . B 



d-" (j ^\ 



dt \ t ) ' 



e si potrà ridurre a questa forma tanto l'equazione differenziale di se- 

 cond'ordine 



^^^ dx'' X dx '\ a:V ' 



quanto Fequazione differenziale di prim'ordine 



dp , , e b 



(io) -f--¥-kp'^ p=:ax^-i-— , 



^ ^ dx ' X ' X 



ponendo 



a — 1—2/3 A , B — B([i^i) 3 



c=: -, a = % — j, = V-T -y M:^ 2, 



a kx ka. a. 



donde si trae : 



(il) «^ j P = — ; , 



^ ^ [J.-^2 ]tJlH-2 2 



3. Potendosi privare del secondo termine l'equazione (i), prenderemo 

 a considerare pel caso di R = o l'equazione più semplice 



(-3) è=''^' 



supponendo P funzione razionale di x , in modo che questa avrà la 

 forma stessa della (8) , e determineremo alcune condizioni generali senza 

 di cui non è integrabile sotto forma algebrica, applicandole specialmente 

 al caso dell'equazione (io), che comprende quella del Riccati e si riduce 

 alla medesima quando si assume è = o e c = o. 



Perchè si abbia qui la dimostrazione compiuta , riferirò la teorica 

 dell'equazione (i3) quale fu data dal signor Liouville. 



Si dice che j- è funzione algebrica di x quando soddisfa ad un'equa- 

 zione algebrica F (x ,j-)z=:o , il cui primo membro si può supporre 

 funzione intera di j? e j'. Ora se un integrale j- delia (i3) è algebrico 

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