3o6 STUDI IKTORKO AI CASI d' INTEGRAZIONE ECC. 



(esclusa la soluzione evidente e di nessun conto j = q), si avrà una' 

 equazione algebrica siffatta F {oc ,j)-=:o ^ e differenziandola si troverà 



ci Y 

 un'espressione di -j^ che sarà una funzione razionale ài x e j e che 



sostituita nella (i3) la cambierà in un'altra equazione razionale tra x 

 ed j. Adunque l'equazione F{x ,j)^o e la nuova equazione razionale 

 avranno almeno una radice comune j', e però se ammettiamo, cornee 

 lecito, che la prima sia irreduttibile, tutte le sue radici J, , J:^ , Jì , ■ ■ ■ 

 in numero eguale al grado dell'equazione, dovranno esser comuni alla 

 seconda, senza di che presenterebbero un fattor comune, pel qviale di- 

 videndo F{x,j) si abbasserebbe l'equazione F(x,j-) = o ad un grado 

 minore. Così tutte queste radici saranno altrettanti integrali particolari 



della (i3), e la somma delle loro potenze simili J','^-\-J':l'-^Jì'^-ì- 



sarà per ogni valor intero dell'esponente r una fvmzione razionale dei 

 coefficienti dell'equazione F(x,j) = o, e per conseguenza una funzione 

 razionale di x che non potrà esser nulla né costante per tutti i valori 

 di r, poiché altrimenti sarebbero tali i coefficienti dell'equazione 

 F(x ,j) = o , e j avrebbe un valor costante che sarebbe necessaria- 

 mente zero. 



Preso un numero qualsivoglia m delle radici accennate, e posto 

 ji = T/-j''-t- V '-(- ^j'-^j^ formeremo come segue un'equazion diffe- 

 renziale tra u e x. Scrivendo per brevità iiz=I.j'', e differenziando 



dii ^ f dr\ 



avremo -j— = 2. ( 7'j'^ • -r^ h ossia 



dx y-" dx I 



du 



C'4) rf^="-' 



se facciasi 2. \ry'~'- -f^ )=«, ■ Differenziando nuovamente troveremo 



ossia 



('5) J^ = 'P"+"., 



-h'-)r-.(g)"]=«., 



perchè la (i3) somministra 



