3o8 STUDI INTORNO AI CASI D INTEGRAZIONE ECC. 



=r/'.i.[r(r-.)...v(^)"']- 



ossia -j-^=rPM,._, , che si può anche rappresentare con due equazioni 

 dx 



(19) rf^ = ''^"^-'"^"'-+- ' «^+>=o • 



Ciò stante, il valore di u, tratto dalla (i4) si metterà nella (i5); 



da questa si trarrà u^ espresso con u e -r-z , e si sostituirà nella (16), 



d u d^u d^u ^ , j- 



il che darà u,^ espresso con u , -r- ^ j~ì ' 7~1 '1 ^ questo valore di Wj 



si sostituirà nella (17). Così continuando si avrà generalmente «„ espresso 



con w , -r- , . . . -, — , onde infine traendo il valore di «,.+, dalla prima 



dx dx'' 



delle (ig) e ponendolo nella seconda, si otterrà per determinare u una 

 equazione differenziale dell'ordine ?'-»- 1 che dinoteremo con £7^=0. 

 È chiaro che questa equazione sarà lineare, non avrà termine indipen- 



, , , •^ , ^'"^'" 



dente da w e dalle derivate di u , che la derivata più elevata ■ , ^^, 



avrà per coefficiente i, e che tutti gli altri coefficienti saranno funzioni 

 intere di P e delle sue derivate : infatti nelle successive sostituzioni 

 nessun denominatore s' introduce e la espressione generale di if„+, data 

 dalla ( 1 8) mostra che se quelle leggi valgono fino all' indice n , sussiste- 

 ranno anche per 1' indice « -f- 1 . 



L'equazione differenziale U,.:=.o rimane la stessa, qualunque sia il 

 numero m delle radici j-, , j^ , j^ , . . . che si sono volute considerare, 

 e quindi vale per una sola radice come per tutte. Onde segue che quando 

 l'equazione (i3) è integrabile algebricamente, l'altra £7^=0 dovrà avere 

 un integrale razionale, qualunque sia r, e questo integrale non potrà 

 esser nullo o costante per tutti i valori di r. 



L'integrale completo della f/,.=:o si esprime facilmente per mezzo 

 di due integrali particolari J = X, , J = X^ della (i3) se questi integrali 

 siano distinti, cioè se la loro ragione non sia costante. Imperocché presa 

 una costante qualsivoglia g , un altro integrale particolare della (i3) 

 sarà j,=X,-Hg'X^ , e però M = (X,H-g' A'J'' sarà un integrale particolare 

 della U,.= o , talché questa equazione sarà soddisfatta dnl valore 



