DI ANGELO GENOCCHI 

 I ° 1.2 



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ed essendo g indeterminata, dovranno dopo la sostituzione annullarsi 

 separatamente i termini moltiplicati per le diverse potenze di g. Ora , 

 per essere l'equazione lineare e senza termine che contenga il solo jc , 

 e per essere r e g costanti , è manifesto che i termini indipendenti da g 

 saranno gli stessi che si troverebbero sostituendo u-=^X^, i termini 

 moltiplicati per la prima potenza di g saranno gli stessi che si trove- 

 rebbero sostituendo m=X,''~'Xj , e moltiplicando tutto per -, i termini 



moltiplicati per g" saranno gli stessi che si troverebbero sostituendo 



V (r — I ) 

 u-sz.X^'^'X^ , e moltiplicando tutto per — ^ , e via via; e che 



infine i termini moltiplicati per g'' saranno gli stessi che si troverebbero 

 sostituendo u=iX^. Adunque si avranno r-4-i integrali particolari u=X^', 



u-=zX^~^X^ , u-=.X^~'^X^ , , M = A',X/~', u-=.X^ , e l'integrale 



completo sarà 



dove A„ , A, , , Àr indicano r-t-i costanti arbitrarie. 



Ne risulta che ogni funzione intera omogenea di X, e X., del grado r 

 sarà un valore soddisfacente di u , poiché sarà compresa nell' integrale 

 completo ora riferito che si renderà identico a quella mediante un'op- 

 portuna determinazione delle costanti A„ , A^ , . . . Quindi se abbiansi r 



integrali particolari della (^3) ^, , j^^ , , j,. , il loro prodotto 



Jtf:, jr si potrà prendere per u e sarà un integrale dell'equazione 



U,.=zo , poiché essendo ognuno di quegl' integrali J, , J^ -, ..•,/,. della 

 forma aX^-^bX^ con a a b costanti , il loro prodotto è una funzione 

 intera omogenea di X, e X^ del grado r. Supponendo eguali alcuni di 

 quegl' integrali particolari , o\^ero applicando lo stesso principio , si 

 vede che anche un prodotto «=j,*ij-/2 Jn!''" di m integrali par- 

 ticolari della (i3) elevati alle potenze de' gradi A",, k^,...h„^ sarà un 

 integrale dell'equazione £/,.= o , se gli esponenti /v, , A ,,,..., A „. siano 

 numeri interi e positivi la cui somma eguagli r. 



4. Giova anche porre j^=re , il che trasforma l'equazione (i3) 

 nella 



(20) -=— -»-v^=P, 



