3 IO STUDI INTORNO AI CASI d'iNTEGRAZIONE ECC. 



poiché ogni qualvolta la prima è integrabile algebricaioente^, sarà lo 



dy 

 stesso della seconda, avendosi v= — ~— . Ma la seconda può essere 



j dx ^ 



integrabile algebricamente e non esser tale la prima che allora avrà 



/"'' ^^ 

 soltanto ini integrale della forma J = e , in cui v sarà funzione al- 

 gebrica di x. Si deve aggiungere che in siffatto caso l'equazione irre- 

 (iuttibile da cui dipenderà v non eccederà il secondo grado. Infatti , 

 siano t', e \\ due radici di questa equazione alle quali corrispondano 



tv d X 1 V d X 



j-,=e ' ' j-^=e '* : dovendo j-, e J^ soddisfare alla (i3), si avrà: 



e integrando 



dj^ dj, _ ^ 



"^ '" dx -^ ^' d X ' 



costante , relazione che diverrà 



Ora, non potendo essere i\:=v^ , la costante C, non potrà esser 

 nulla ; quindi 



^1 — *^i 



Similmente , se ^'3 sia una terza radice , si avrà 



Jv^dx 



C^ e C3 saranno due costanti non nulle, e /3 = e un mtegrale 



particolare della ("i 3). Da ciò seguirebbe — =: '^ ' ^, che aggiunta 



Q 



■alla precedente y^y^-=. ^ — , e alla equazione tra i^ ed x condurrebbe 



mediante l'eliminazione a trovare un'equazione algebrica tra ^, e x, e 

 un'altra tra j^% x, il che è assurdo supponendosi che la (i3) non 

 .ammetta alcun valore algebrico di j. 



Nella stessa ipotesi che l'equazione (i3) non sia integrabile sotto 

 forma algebrica, se l'eqxiazione differenziale Ur'=o non è soddisfatta 

 da alcun valore razionale non costante di u , qualunque sia l'indice r 

 o almeno per r=:4, la funzione v non potrà esser algebrica se non è 



