DI ANGELO GENOCCHI 3 I I 



razionale. Imperocché se \> dipendesse da un'eqviazione irreduttibde di 

 secondo grado, avrebbe due distinti valori della forma 



v, = M-\-\'N , c',=M— yiv , 



Q 



indicate con M q iV^due fimzioni razionali di x , e l'equazione jr^j^z= ^ — 



C C^ 



diverrebbe r,Y-=^ 7-J= , onde r,V/=7-ìrF Quantità razionale diversa 



•^ *^' 2.|/iV ^N ^ 



da zero: dunque per r;^4 l'equazione £/^=o avrebbe l'integrale ra- 

 zionale u=.j^j^, contro alla supposizione. 



Pertanto v dipenderà da un'equazione di primo grado e sarà ra- 

 zionale. 



L'equazione j, . -^ — j^ . —^ = C, divisa per j-/ e integra ta con 



un'altra costante arbitraria C, somministra —=€■+•0,.] — ^ , ossia 



cosicché da un solo integrale particolare j-, della (i3) si può dedurne 

 im altro j^ che contenga due costanti arbitrarie e sia per ciò l'inte- 

 grale completo. 



o. Vediamo le conseguenze di queste proposizioni supponendo che P 

 sia una funzione razionale , intera o fratta , dì x. 



E primieramente se P è una funzione intera, l'equazione U,.= o 

 non potrà avere un integrale razionale che non sia funzione intera di x, 



poiché il coefficiente di -= — -— è i e gli altri coefficienti saranno fun- 



zioni intere di x. 



Più generalmente , quella equazione non può avere un integrale 

 razionale, il cui denominatore abbia fattori diversi dai fattori lineari 

 del denominatore di jP e dalle loro potenze. Anzi il denominatore di u 

 non potila contenere tampoco quei fattori lineari del denominatore di P 

 che nel medesimo siano elevati a potenza diversa dalla seconda. Impe- 

 rocché se P ed u siano spezzati in una parte intera ed in frazioni 



semplici, e sia ^ r— una delle frazioni componenti P, e r^^ 



^ (x — a)" ^ (x — a)' 



una delle frazioni componenti u , intendendo che meo. siano \ maggiori 

 esponenti di x — a nei denominatori di tali frazioni, e che u sia nmg- 



