012 STUDI INTORNO AI CASI D INTEGRAZIONE ECC. 



giure di zero, in eguale o maggior di zero, e A denoti una quantità 

 diversa da zero, eccettuato il caso di m = o, nel quale potrà anche 



essere y^ = o, vedremo dalle equazioni (i4)j (i5), (^9) • 



i.° Che quando m è zero o positivo ma minor di 2 , l'espressione di u, 



oc h 

 spezzata in frazioni semplici conterrà il termine — t—-, , quella 



,..,,. . a.{a-\-i)h a(a-t-i)(a-(-2)A 



di ?i, il termine -4--r-^^ ^^ , quella di u, u termine ^ ^ \ ^/ , 



(jc—ay+^' ^ (x — «)"• 



e così in progresso fino a quella di ii^^, che conterrà il termine 



a(a-Hi). . . {oi.-\-r)h _ 

 — (x — fl)'+'-+' ' • 



2." Che quando in è maggiore di 2 , l'espressione di m, conterrà 



ancora il termine — 7 — ' _^ con «.,= «, quella di u conterrà il 



li.^Ah ,, ,. .. p-ìAh 

 termine — -, = — r— -— con u.z=ir. quella di m, il termine ~^-, — - — r— , 



dove fA3 = (aH-/re)|u,^-|- 2 (/' — i)p!., , quella di u^ il termine -t- 



{x — a)*+^"' 



con fx^=3(r — 2)fXj, quella di u^ il termine — "° s,^^^^, , dove 



jU.5=(a-H2 7w)/u,^-H4('^ — 3)jU3; e generalmente u^^ conterrà il termine 

 (— i)'^. , ^ v+„;„ , e «i +, d termine (— 1/+' \.+am+i ^ «ve sarà 



p.,^ = (2f/ — l)(r— 2 9-t-2}fX,,_, , 



P-^q + ,={a-^qm)lJ..q-¥-2q{r—2q-\-i)li.^^_, , 



come si verificherà per mezzo dell'equazione (18) applicata ad n = 2q 

 e 7J=2^-+-i, mostrando che se la legge è vera sino all'indice 215' — i, 

 sussiste ancora sino all'indice 2^-1-1: quindi essendo r-Hi il più alto 

 valore dell'indice, ed essendo positivi i primi coefficienti p., , fx^, [x^ , 

 saranno pure positivi tutti gli ij.^^ e p^g+,, e però anche [x^^, . Adunque 

 in tutti i casi il termine della espressione di ;/,._,., che contiene al de- 

 nominatore la potenza più elevata del fattore x — a, e che abbiamo 

 ora determinato, avrà un valore diverso da zero, talché non potendo 

 essere soddisfatta l'ultima equazione (19), sarà dimostrata impossibile 

 l'ipotesi fatta di a>o e in diverso da 2. 



6. Sia Ax'" nella parte intera di P il termine che contiene la più 

 alta potenza di x; e sia hx' il termine che contiene la più alta potenza 

 di X nella parte intera di u, onde gli esponenti m e x saranno numeri 



