3l4 STUDI INTORNO Al CASI d'iNTEGRAZIONE ECC. 



Talori che anche si deducono da quelli del caso precedente col farvi 

 «:^o, e che mosti'ano essere positivi tutti i coefficienti [x^ e [x^ ^, , 

 poiché sono tali [x^ e fx,^ . Sarà dunque impossibile eziandio in questo 

 caso l'ultima equazione (19). 



Si conchiuda che quando P ha una parte intera costante o variabile, 

 u non può avere una parte intera variabile, e quando P ha una parte 

 intera variabile, u non può avere una parte intera costante. 



La dimostrazione esposta non vale nel caso in cui si suppongano 

 nvilli ad vui tempo j?i ed a : allora ne risulta l' impossibilità dell'equa- 

 zione (19) solamente pei valori impari di r. Imperocché posto P=^-i-Q , 

 u = h-^v , dove Q e v indicano frazioni razionali di grado non supe- 



riore a — 1, avremo 11,= -, — di grado non superiore a — 2, 



M,= -7 rPu= — T'Ah-^ , 



a X 



ommessi i termini di grado inferiore a zero ; poscia «3 di grado non 

 superiore a — 3 , 



d X 



e generalmente «j,_, di grado non superiore a — 2, e 

 u,^—{—iy. 3. 5. . . (29 — 1). r(r— 2)(/' — 4). . . {r—aq^-2)A''h-^. . . , 

 la qual legge facilmente si stende da ^ a ^-+-1. Quindi preso rz=iiq — i ^ 



r-i-i 



si avrà m,.^_,= (3. 5. . . 7')^. ( — A^ ^ h-^-. . . , che non è nullo : dunque 

 l'equazione m,.^_,=io sarà impossibile per 7" impari. Ma la dimostrazione 

 non si applica ad r pari. 



A ciò non pose mente il signor Liouville, che la usò senza distin- 

 zione per provare, che se é P-=zA-\ ;, e sia r pari o impari, non 



può essere M = /zx"-hecc. , per alcun valore intero, positivo, nullo o 

 negatiK'o di n. Per n positivo , il suo ragionamento procede esatto ; e 

 sussiste anche per n negativo , quantunque allora non sia più vero che 

 i coefficienti numerici C^^ , C'^?+i corrispondenti ai nostri p.^^ , l^iq-^i 

 siano tutti positivi , dappoiché si riconosce agevolmente che sono po- 

 sitivi quelli d' indice pari , e negativi quelli d' indice impari come è il 

 primo C^z=n. Ma per n nullo le sue formolo non reggono, non essendo 



