DI ANGELO GENOCCHI 3l5 



allora n — i ma — 2 il grado di u^ , u^ , . . . (*); e non solo la dimo- 

 strazione è inesatta , bensì deve dirsi non vera la proposizione che si 

 vuol dimostrare^ cioè che V integrale u non possa mai esser razionale, 

 risultando il contrario da altre formole trovate piiì innanzi dallo stesso 

 LiouviLLE pel caso di B eguale al pi^odotto di due numeri interi conse- 

 cutivi n(n-i-i). Infatti egli trova (*''") che in questo caso l'equazione (i3) 

 ammette i due integrali distinti 



j.=:e^-^.;r-T , j=e-^-^.x~"Z, 



essendo VeZ due funzioni intere di a: , e ne segue 



funzione razionale di x che dovrà essere fra i valori di a per r = 2. 

 Parimeli te la potenza j','" jl"' sarà una fvmzione razionale di x e sarà 

 fra i valori di u per r-=:.im. Dunque F integrale u avrà valori razionali, 

 contro a ciò che il signor Liouville si propose di dimostrare. Possiamo 

 confermare con un esempio numerico questa obbiezione. Sia i?=i2: 

 preso r=r2, le equazioni (ig) saranno verificate col valor razionale 



6 45 225 



_j_ 



Ax'' A'-x'' A^x'' 



Il signor Liouville conchiude (pag. 7) che l'equazione (i 3) non ha 



mai integrale algebrico ?,e P^A-\ ;. Giungeremo anche noi a questa 



conchiusione, ma ci è forza tenere una via alquanto piiì lunga. 



7. Sia X — a un fattore del denominatore di P, elevato in quel 



denominatore alla seconda potenza : sarà 7 ^ una delle frazioni 



■^ [X — a) 



parziali che compongono P. Spezzata anche u in frazioni semplici, sia 



-: ^ quella di tali frazioni che conterrà nel denominatore la pivi 



[x — ay ^ 



alta potenza di x — a: è chiaro dalle equazioni (i4)> (i5), (16), (17) 

 che l'esponente di x — a non potrà superare a-(-i nel denominatore 

 di II, , a -4- 2 in quello di u^ , a-i-'ò in quello di u^ , a -h 4 in quello 



(*) V. Journal de Malliém. 1841, pag, 6-7. 

 (•*) Ibid., pag. 12. 



